第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
[A级 基础巩固]
一、选择题
1.实数a,b,c满足a+b+c=0,则正确的说法是( )
A.a,b,c都是0
B.a,b,c都不为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c不可能均为正数
答案:D
2.用反证法证明“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是( )
A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除 D.a能被5整除
解析:由于反证法是否定命题的结论,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.“a,b中至少有1个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”.
答案:B
3.“实数a,b,c不全大于0”等价于( )
A.a,b,c均不大于0
B.a,b,c中至少有一个大于0
C.a,b,c中至多有一个大于0
D.a,b,c中至少有一个不大于0
解析:“不全大于零”即“至少有一个不大于0”,它包括“全不大于”.选项D正确.
答案:D
4.用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线,则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:
①则A、B、C、D四点共面,所以AB、CD共面,这与AB、CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC、BD也是异面直线;③假设直线AC、BD是共面直线.则正确的序号顺序为( )
A.①②③ B.③①②
C.①③② D.②③①
解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为③①②.
答案:B
5.有下列叙述:
①“a>b”的反面是“ay或xA.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:①错:应为a≤b;②对;③错:应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;④错:应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.
答案:B
二、填空题
6.用反证法证明命题“如果a>b,那么3a>3b”时,假设的内容应是______________.
解析:“大于”的否定为“小于或等于”.
答案:3a=3b或3a<3b成立
7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.
②所以一个三角形不能有两个直角.
③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.
上述步骤的正确顺序为________.(填序号)
答案:③①②
8.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是________.
解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.
答案:丙
三、解答题
9.(1)当x>1时,求证:x2+1x2>x+1x;
(2)已知x∈R,a=x2-x+1,b=4-x,c=x2-2x,试证明a,b,c中至少有一个不小于1.
证明:(1)x2+1x2-x+1x=(x-1)2(x2+x+1)x2,因为x>1,所以(x-1)2>0,x2>0,x2+x+1>0,所以x2+1x2>x+1x.
(2)假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,①
而a+b+c=2x2-4x+5=2(x-1)2+3≥3,②
①与②矛盾,
故a,b,c中至少有一个不小于1.
10.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.
求证:f(x)=0无整数根.
证明:假设f(x)=0有整数根n,
则an2+bn+c=0,
由f(0)为奇数,即c为奇数,
f(1)为奇数,即a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,
又an2+bn=-c为奇数,
所以n与an+b均为奇数,
又a+b为偶数,
所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,
所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.
所以f(x)=0无整数根.
B级 能力提升
1.已知a,b,c∈(0,+∞),则下列三个数a+4b,b+9c,c+16a( )
A.都大于6 B.至少有一个不大于6
C.都小于6 D.至少有一个不小于6
解析:假设a+4b,b+9c,c+16a都小于6,则a+4b+b+9c+c+16a<18,
利用基本不等式可得a+4b+b+9c+c+16a≥2b?4b+2a?16a+2 c?9c=4+8+6=18,当且仅当a=4,b=2,c=3时取等号.
这与假设矛盾,故假设不成立,故a+4b,b+9c,c+16a这三个数中至少有一个不小于6.
答案:D
2.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是________________.
解析:若两方程均无实根,则
Δ1=(a-1)2-4a2=(3a-1)(-a-1)<0,
解得a<-1或a>13.
Δ2=(2a)2+8a=4a(a+2)<0,解得-2<a<0,
所以-2<a<-1.
所以,若两个方程至少有一个方程有实根,
则有a≤-2或a≥-1.
答案:a|a≤-2或a≥-1
3.求证:不论x,y取何非零实数,等式1x+1y=1x+y总不成立.
证明:假设存在非零实数x,y使得等式1x+1y=1x+y成立.于是有y(x+y)+x(x+y)=xy,
即x2+y2+xy=0,即(x+y2)2+34y2=0.
由y≠0,得34y2>0.
又(x+y2)2≥0,所以(x+y2)2+34y2>0.
与x2+y2+xy=0矛盾,故原命题成立.
课件31张PPT。第二章 推理与证明