第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是( )
A．a，b，c都是0
B．a，b，c都不为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c不可能均为正数
答案：D
2．用反证法证明“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a能被5整除
解析：由于反证法是否定命题的结论，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
答案：B
3．“实数a，b，c不全大于0”等价于( )
A．a，b，c均不大于0
B．a，b，c中至少有一个大于0
C．a，b，c中至多有一个大于0
D．a，b，c中至少有一个不大于0
解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．
答案：D
4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
答案：B
5．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
答案：B
二、填空题
6．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是______________．
解析：“大于”的否定为“小于或等于”．
答案：3a＝3b或3a<3b成立
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．(填序号)
答案：③①②
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
答案：丙
三、解答题
9．(1)当x>1时，求证：x2＋1x2>x＋1x；
(2)已知x∈R，a＝x2－x＋1，b＝4－x，c＝x2－2x，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.
证明：(1)x2＋1x2－x＋1x＝（x－1）2（x2＋x＋1）x2，因为x>1，所以(x－1)2>0，x2>0，x2＋x＋1>0，所以x2＋1x2>x＋1x.
(2)假设a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，①
而a＋b＋c＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3≥3，②
①与②矛盾，
故a，b，c中至少有一个不小于1.
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．
求证：f(x)＝0无整数根．
证明：假设f(x)＝0有整数根n，
则an2＋bn＋c＝0，
由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，
又an2＋bn＝－c为奇数，
所以n与an＋b均为奇数，
又a＋b为偶数，
所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，
所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
B级 能力提升
1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则下列三个数a＋4b，b＋9c，c＋16a( )
A．都大于6 B．至少有一个不大于6
C．都小于6 D．至少有一个不小于6
解析：假设a＋4b，b＋9c，c＋16a都小于6，则a＋4b＋b＋9c＋c＋16a<18，
利用基本不等式可得a＋4b＋b＋9c＋c＋16a≥2b?4b＋2a?16a＋2 c?9c＝4＋8＋6＝18，当且仅当a＝4，b＝2，c＝3时取等号．
这与假设矛盾，故假设不成立，故a＋4b，b＋9c，c＋16a这三个数中至少有一个不小于6.
答案：D
2．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________________．
解析：若两方程均无实根，则
Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)＜0，
解得a＜－1或a＞13.
Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0，
所以－2＜a＜－1.
所以，若两个方程至少有一个方程有实根，
则有a≤－2或a≥－1.
答案：a|a≤－2或a≥－1
3．求证：不论x，y取何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．
证明：假设存在非零实数x，y使得等式1x＋1y＝1x＋y成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，
即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋y2)2＋34y2＝0.
由y≠0，得34y2＞0.
又(x＋y2)2≥0，所以(x＋y2)2＋34y2＞0.
与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．
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