第二章 推理与证明
2.3 数学归纳法
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3 C．5 D．6
解析：当n取1、2、3、4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5.
答案：C
2．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cos α＋cos 3α＋…＋cos (2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为( )
A.12
B.12＋cos α
C.12＋cos α＋cos 3 α
D.12＋cos α＋cos 3 α＋cos 5 α
解析：令n＝1，左式＝12＋cos α.
答案：B
3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )
A.π2 B．π C.3π2 D．2π
解析：由凸k边形变成凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
答案：B
4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳递推应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确
解析：因为n为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写成：假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.
答案：B
5．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立，现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析：由已知可得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立，在n＝n0＋1时命题成立的前提下，可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立．以此类推可知命题对大于或等于n0的正整数都成立，但命题对小于x0的正整数成立与否不能确定．
答案：C
二、填空题
6．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n＝p(n)”从n＝k推导n＝k＋1时原等式的左边应增加的项数是________．
解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1共2k＋1－2k项．
答案：2k＋1－2k
7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．
解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案：未用归纳假设
8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．
解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81?34k＋2＋25?52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56?34k＋2.
答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56?34k＋2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n（2n＋2）＝
n4（n＋1）.
证明： (1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18等式成立．
(2)假设n＝k时，等式成立，即12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＝k4（k＋1）成立．
当n＝k＋1时，
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＋1（2k＋2）（2k＋4）＝k4（k＋1）＋1（2k＋2）（2k＋4）＝k（k＋2）＋14（k＋1）（k＋2）＝
（k＋1）24（k＋1）（k＋2）＝k＋14（k＋2）＝k＋14[（k＋1）＋1].
所以n＝k＋1时，等式成立．
由(1)、(2)可得对一切n∈N*，等式成立．
10．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝1920>56，不等式成立．
(2)假设当n＝k(n≥2，n∈N*)时命题成立，
即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.
那么当n＝k＋1时，
1（k＋1）＋1＋1（k＋1）＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13（k＋1）＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1>56＋
13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1>56＋
13k＋3＋13k＋3＋13k＋3－1k＋1＝56.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．
B级 能力提升
1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋14对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为( )
A．a＝12，b＝14 B．a＝b＝14
C．a＝0，b＝14 D．a＝14，b＝12
解析：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋14对一切n∈N*都成立，所以当n＝1，2时有
1＝3（a－b）＋14，1＋2×3＝32（2a－b）＋14，即1＝3a－3b＋14，7＝18a－9b＋14，
解得a＝12，b＝14.
答案：A
2．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为____________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________．
解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
3．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．
解：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根S1－1＝a1－1，
所以(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，
解得a1＝12，
当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－12，
所以a2－122－a2a2－12－a2＝0，解得a2＝16.
(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0.
解得Sn＝12－Sn－1.
由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.
猜想Sn＝nn＋1(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明这个结论．
①当n＝1时，结论成立．
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，
即Sk＝kk＋1，
当n＝k＋1时，Sk＋1＝12－Sk＝12－kk＋1＝k＋1k＋2＝
k＋1（k＋1）＋1.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，{Sn}的通项公式为Sn＝nn＋1(n∈N*)．
课件48张PPT。第二章 推理与证明
