第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
解析：显然z是非负实数．
答案：D
2．当0＜m＜1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：当0＜m＜1时，1＜m＋1＜2，－1＜m－1＜0，所以z对应的点在第四象限．
答案：D
3．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i B．2
C．(－1，) D．－1＋i
解析：设复数z对应的点为(x，y)，则
x＝|z|·cos 120°＝2×＝－1，
y＝|z|·sin 120°＝2×＝，
所以复数z对应的点为(－1，)，所以z＝－1＋i.
答案：D
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z对应点的轨迹是1个圆．
答案：A
5．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi??所以|x＋yi|＝＝，故选B.
答案：B
二、填空题
6．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
解析： Z1与Z2的坐标分别为(1，－1)，(3，－5)，
所以|Z1Z2|＝＝2.
答案：2
7．已知0
解析：由题意可知z＝a＋i.根据复数的模的定义，得|z|＝，而0答案：(1，)
8．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得所以z＝i.
答案：i
三、解答题
9．实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？
解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即－3(2)当实数x满足
即2(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
10．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，所以＝(－3，4)，＝(2a，1)．因为与共线，所以存在实数k使＝k，即(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，
所以解得
即a的值为－.
B级 能力提升
1．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．16
解析：由|z－4i|＝|z＋2|得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
所以x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
所以2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
答案：C
2．若复数(k－3)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则k的取值范围是__________________．
解析：依题意，有k－3＜0且k2－4＞0，解得k＜－2或2＜k＜3.
答案：(－∞，－2)∪(2，3)
3．设z为纯虚数，且满足|z＋1|＝|－2＋i|，求复数z.
解：因为z为纯虚数，
所以可设z＝ai(a∈R，a≠0)，
所以|z＋1|＝|ai＋1|＝.
又|－2＋i|＝＝，
所以＝，解得a＝±2，
所以z＝2i或z＝－2i.
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