第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )
A．3＋3i B．－1＋3i C．3＋i D．－1＋i
解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.
答案：C
2．在复平面内，复数的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限．
答案：B
3．若z＝，则复数z等于( )
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
解析：因为z＝＝2－i，所以z＝2＋i.
答案：D
4．设a是实数，且∈R，则实数a＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：＝(a＋1)＋(a－1)i，所以当a＝1时，∈R.
答案：B
5．(2018·北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数z＝＝＝＝＝＋i，所以z的共轭复数＝－i，对应的点为，位于第四象限．
答案：D
二、填空题
6．(2016·天津卷)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
解析：因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
答案：1
7．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．
解析：设z＝bi(b∈R)，
则＝＝＝＋i，
因为是实数，所以＝0，得b＝－2，所以z＝－2i.
答案：－2i
8．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________．
解析：由(z1－2)(1＋i)＝1－i得z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2是实数，
所以a＝4，所以z2＝4＋2i.
答案：4＋2i
三、解答题
9．计算：(1)＋；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解：(1)＋＝＋＝
i(1＋i)＋＝－1＋i＋(－i)1 009＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
10．设的共轭复数是z，若z＋＝4，·z＝8，求的值．
解：法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由z＋＝4，z·＝8，得
即解得
所以＝＝＝±i.
法二 因为z＋＝4，设z＝2＋bi(b∈R)，
又z·＝|z|2＝8，所以4＋b2＝8.
所以b2＝4，所以b＝±2，所以z＝2±2i，z＝2?2i.
所以＝±i.
B级 能力提升
1．计算＋的值是( )
A．0 B．1 C．i D．2i
解析：原式＝＋＝
＋＝＋i＝
i＋i＝2i.
答案：D
2．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________．
解析：因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.
则|z|＝1.
答案：1
3．设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1＜w＜2，求|z|的值及z的实部的取值范围．
解：因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi(x、y∈R且y≠0)，
可得w＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i，
因为w是实数，且y≠0，
所以y－＝0，即x2＋y2＝1，
所以|z|＝1，此时w＝2x.
由－1＜w＜2得－1＜2x＜2，
所以－＜x＜1，即z的实部的取值范围是.
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