人教版八年级数学上册 11.2.2 三角形的外角 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
11.2.2 三角形的外角
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（重点）
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
2.在△ABC中，已知∠A： ∠B：∠C= 2：3：5，
则△ABC是 三角形
3.什么是三角形的内角？其和等于多少？
48 °
直角
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，
它们的和是180 °.
复习引入
定义:
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
画一画：画出△ABC的所有外角，请指出来有哪几个.
△ABC 的6个外角有什么关系？（从位置关系和数量关系）
有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
∠1和∠4, 是对顶角，相等；
∠2和∠5, 是对顶角，相等；
∠3和∠6, 是对顶角，相等.
三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角。通常每个顶点处取一个外角。
C

1.如图,下列各角是△ABC的外角的是( )
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
C
练一练
2.如图,以∠AOD为外角的三角形是_______________．
△AOB和△COD
练一练
填一填：
(1)如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则
∠ACD = .
(2)任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内
角是否都有（1）中这种关系呢？
130 °
∠ACD =∠A+∠B.
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
注意 三角形外角与内角的关系：
（1）位置关系：相邻和不相邻.
（2）数量关系：外角与相邻内角互补，
补充:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
练一练 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=20 °, ∠2=130 °

1.如图，在△ABC中,∠B＝40°,∠C＝30°,
延长BA至点D,则∠CAD的大小为( )
A.110°
B.80°
C.70°
D.60°
C
练一练
2.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1＝30°,∠2＝50°,则∠3的度数为_______．
20°
练一练
3.如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是( )
A.∠A>∠1>∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1
D.∠2>∠A>∠1
B
练一练
4.如图,在△ABC中,∠B＝∠C,AE平分
△ABC的外角∠CAD.
求证：AE∥BC.
练一练
如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
你还有其他解法吗？
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
三角形的三个外角和等于360°.
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
1.如果一个三角形的两个外角的和等于270°,则这
个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
2.已知三角形三个外角的度数比为2∶3∶4,则它的
最大内角的度数为__________．
B
100°
练一练
例1 (一题多解）如图，计算∠BDC.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°+20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
E
)
1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°+20°+30°=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
2
2
(
重要发现
∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
例2.下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题.
根据下列线索推理出这个三角形有关的角.
线索1：在△ABC中，∠B=∠C ；
线索2：它的一个外角是100?；
问题：它的各个内角各是多少度？
50°，50°，80°
或80°，80°，20°.
答：它的各个内角分别为
例3.（1）如图，∠BDC是________的外角,
也是 的外角.
(2)请指出∠BDC, ∠DEA， ∠ECA三者
的大小关系.

(3)若∠B=45°，∠BAE=36°,∠BCE=20°,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
△ADE
△ADC
∠BDC> ∠DEA> ∠ECA
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC=∠B+BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.
例4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180?-40?-70?=70°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
40°
A
B
C
D
B
A
C
P
N
M
D
E
F
能力提升
1.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿.
360°
2．如图，在△ABC中，沿图中虚线截去∠C，
若∠1＋∠2＝250°，则∠C的度数是( )
A.110° B.70° C.55° D.35°
B
能力提升
∠1＋∠2＝∠C＋180°
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的三个外角和等于360 °