2018-2019学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷

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2018-2019 学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请
在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1．（5 分）直线 l：x+y﹣3＝0 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（5 分）已知集合 A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x||x|≤1}，则 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，1} C．[﹣1，1] D．{2，3}
3．（5 分）某学校高一、高二、高三教师人数分别为 100、120、80，为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习
情况，现用分层抽样的方法抽取容量为 45 的样本，则抽取高一教师的人数为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．30
4．（5 分）某同学 5 天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为 12，8，10，9，11，则这组数据的方差为（ ）
A．4 B．2 C．9 D．3
5．（5 分）已知平面 α∥平面 β，直线 m?α，直线 n?β，则直线 m，n（ ）
A．平行或相交 B．相交或异面
C．平行或异面 D．平行、相交或异面
6．（5 分）袋中共有完全相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4，现从中任取 2 只小球，则取出的 2 只球编号之和是
偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5 分）已知 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
8．（5 分）若函数 f（x）＝|x﹣m|﹣mx（m＞0）有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C．（1，2） D．
9．（5 分）若函数 的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（ ）
A．在 上是增函数

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B．图象关于直线 对称
C．图象关于点 对称
D．当 时，函数 f（x）的值域为
10．（5 分）以（1，m）为圆心，且与两条直线 2x﹣y+4＝0，2x﹣y﹣6＝0 都相切的圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）
2
+（y+9）
2
＝5 B．（x﹣1）
2
+（y﹣11）
2
＝25
C．（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
＝5 D．（x﹣1）
2
+（y+9）
2
＝25
11．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，2b＝bcosC+ccosB，
则 cosC 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5 分）已知平面四边形 ABCD 满足 AB
2
﹣AD
2
＝5，BC＝3， ＝﹣1，则 CD 的长为（ ）
A．2 B． C． D．2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．（5 分）过点 A（2，﹣3）且与直线 l：x﹣2y﹣3＝0 垂直的直线方程为 ．（请用一般式表示）
14．（5 分）若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为 ，则此圆锥的侧面积为 ．
15．（5 分）若点 A（x1，y1），B（x2，y2）是圆 C：x
2
+y
2
＝1 上不同的两点，且 ，则 的
值为 ．
16．（5 分）如图，AD，BE 分别为△ABC 的中线和角平分线，点 P 是 AD 与 BE 的交点，若 BC＝2BA＝2， ，
则△ABC 的面积为 ．

三、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸
的指定区域内）
17．（10 分）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018 年 12 月 30 日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管

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理办法》，2019 年 3 月 1 日起施行．这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，
受到了广大市民的一致好评．现从某单位随机抽取 80 名职工，统计了他们一周内路边停车的时间 t（单位：小时），
整理得到数据分组及频率分布直方图如下：
组号 分组 频数
1 [2，4） 6
2 [4，6） 8
3 [6，8） 22
4 [8，10） 28
5 [10，12） 12
6 [12，14） 4
（1）从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于 8 小时的概率；
（2）求频率分布直方图中 a，b 的值．

18．（12 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，AB＝AD，BD⊥CD，点 E、F 分别是棱 BC、BD 的中点．
（1）求证：EF∥平面 ACD；
（2）求证：AE⊥BD．

19．（12 分）设向量 ，其中 ．

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（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
20．（12 分）已知函数 为奇函数．
（1）求实数 a 的值并证明函数 f（x）的单调性；
（2）解关于 m 不等式：f（m
2
）+f（m﹣2）≤2﹣m
2
﹣m．
21．（12 分）在直角△ABC 中， ，延长 CB 至点 D，使得 CB＝2BD，连接 AD．
（1）若 AC＝AD，求∠CAD 的值；
（2）求角 D 的最大值．
22．（12 分）在平面直角坐标系下，已知圆 O：x
2
+y
2
＝16，直线 与圆 O 相交于 A，B 两点，
且 ．
（1）求直线 l 的方程；
（2）若点 E，F 分别是圆 O 与 x 轴的左、右两个交点，点 D 满足 ，点 M 是圆 O 上任意一点，点 N 在
线段 MF 上，且存在常数 λ∈R 使得 ，求点 N 到直线 l 距离的最小值．


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2018-2019 学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请
在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1．【解答】解：直线 x+y﹣3＝0 的斜率为：﹣1，
则直线的倾斜角为： ．
故选：C．
2．【解答】解：B＝{x|﹣1≤x≤1}；
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：A．
3．【解答】解：依题意，抽样比为 ＝ ，
高一教师有 100 人，所以抽取高一教师的人数为 100× ＝15，
故选：B．
4．【解答】解：某同学 5 天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为 12，8，10，9，11，
则这组数氢的平均数为： ＝ （12+8+10+9+11）＝10，
∴这组数据的方差为：
S
2
＝ [（12﹣10）
2
+（8﹣10）
2
+（10﹣10）
2
+（9﹣10）
2
+（11﹣10）
2
]＝2．
故选：B．
5．【解答】解：平面 α∥平面 β，直线 m?α，直线 n?β，则直线 m，n 没有公共点，所以两条直线平行或异面．
故选：C．
6．【解答】解：袋中共有完全相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4，
现从中任取 2 只小球，则基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，6 种情况；
则取出的 2 只球编号之和是偶数基本事件为：{1，3}，{2，4}2 种情况；
所以取出的 2 只球编号之和是偶数的概率为：P＝ ＝ ；
故选：C．

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7．【解答】解：∵ ＝﹣log23＜﹣1，b＝2
0.3
＞1， ＝ ，
∴b＞c＞a．
故选：D．
8．【解答】解：函数 f（x）＝|x﹣m|﹣mx（m＞0）有两个不同的零点?y＝|x﹣m|与 y＝﹣mx（m＞0）有两个不同的
交点，
∵m＞0，∴y＝|x﹣m|与 y＝﹣mx 的图象如下：

结合图象可得，实数 m 的取值范围是（0，1）．
故选：A．
9．【解答】解：函数 的最大值为 2，且它的最小正周期为 ，
若函数 的最大值与最小正周期相同，则 ＝2，∴ω＝π．
故 f（x）＝2sin（πx+ ）．
x∈ ，πx+ ∈[ ， ]，f（x）单调递增，故 A 正确；
当 x＝ 时，πx+ ＝ ，f（x）取不到最值，故 f（x）的图象不关于直线 对称，故 B 错误；
当 x＝ 时，πx+ ＝ ，f（x）取到最值，故 f（x）的图象不关于点（ ，0）对称，故 C 错误；
当 时，πx+ ∈[ ， ]，sin（πx+ ）∈[ ，1]，函数 f（x）的值域为[ ，2]，故 D 错误，
故选：A．

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10．【解答】解：由题意得，点（1，m）到两条直线的距离相等，且为圆的半径．
即 ，解得 m＝1．
∴r＝ ．
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
＝5．
故选：C．
11．【解答】解：由若 可得，3bccosA﹣accosB＝2abcosC，
由余弦定理得 3（b
2
+c
2
﹣a
2
）﹣（a
2
+c
2
﹣b
2
）＝2（a
2
+b
2
﹣c
2
），即 b
2
+2c
2
＝3a
2
，①
由正弦定理结合 2b＝bcosC+ccosB 可得，2sinB＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，∴2b＝a②
由①②得，11b
2
＝2c
2
，
＝ ，
故选：D．
12．【解答】
解：建立如图所示可平面直角坐标系，则 B（0，0），C（3，0），
设 A（x1，y1），D（x2，y2），
由 AB
2
﹣AD
2
＝5，可得：x1
2
+y1
2
﹣（x1﹣x2）
2
﹣（y1﹣y2）
2
＝5，
所以 2x1x2+2y1y2﹣x2
2
﹣y2
2
＝5，
＝﹣1，
所以 x1x2+y1y2＝1+3x2，
由| |
2
＝（x2﹣3）
2
+y2
2
＝x2
2
+y2
2
﹣6x2+9＝2x1x2+2y1y2﹣5﹣2（x1x2+y1y2﹣1）+9＝6，

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即 CD＝ ，
故选：B．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．【解答】解：设与直线 l：x﹣2y﹣3＝0 垂直的直线方程为 2x+y+b＝0，
再把点 A（2，﹣3）代入，可得 4﹣3+b＝0，求得 b＝﹣1，
可得要求的直线方程为 2x+y﹣1＝0，
故答案为：2x+y﹣1＝0．
14．【解答】解：如图所示，
设圆锥的底面半径为 r，则高为 h＝2r，
所以圆锥的体积为 V 圆锥＝ π?r
2
?2r＝ ，
r＝1，h＝2，l＝ ＝ ＝ ，
则此圆锥的侧面积为
S 侧面积＝πrl＝π?1? ＝ π．
故答案为： ．
15．【解答】解：∵点 A（x1，y1），B（x2，y2）是圆 C：x
2
+y
2
＝1 上不同的两点，
∴ ， ，
又 ， ，
∴| |＝
＝
＝ ．
故答案为： ．

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16．【解答】解：由 BC＝2BA＝2，可设 B（0，0），D（1，0），C（2，0），
∠ABC＝2α，则 A（cos2α，sin2α），设 tanα＝t，则 A（ ， ），
直线 BE 的方程为 y＝tx，直线 AD 的方程为 y＝﹣ （x﹣1），
联立方程，解得 P（ ， ），
＝（ ，﹣ ）， ＝（ ， ），
可得 ? ＝ ﹣ ＝﹣ ，
解得 t＝ ，则 sin2α＝ ＝ ，
可得△ABC 的面积为 S＝ AB?BC?sin2α＝ ?1?2? ＝ ，
故答案为： ．

三、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸
的指定区域内）
17．【解答】解：（1）记“从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于 8 小时”为事件 A，
则 ；
（2） ，

18．【解答】证明：（1）因为点 E、F 分别是棱 BC、BD 的中点，
所以 EF 是△BCD 的中位线，
所以 EF∥CD，又因为 EF?平面 ACD，CD?平面 ACD，

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EF∥平面 ACD．
（2）由（1）得，EF∥CD，又因为 BD⊥CD，所以 EF⊥BD，
因为 AB＝AD，点 F 是棱 BD 的中点，所以 AF⊥BD，
又因为 EF∩AF＝F，所以 BD⊥平面 AEF，
又因为 AE?平面 AEF，
所以 AE⊥BD．
19．【解答】解：（1） ，
若 ，则 ，得 tanα＝﹣1，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
化简得 ，
即 ，得 ，
∵ ，∴ ，得 ，
∴ ， ．
∴ ＝
．
20．【解答】解：（1）根据题意，因为函数 为奇函数，
所以 f（x）+f（﹣x）＝0，即 ，即 ，
即（2
x
﹣1）（2
﹣x+1
+a）+（2
﹣x
﹣1）（2
x+1
+a）＝0，
化简得（a﹣2）（2
x
+2
﹣x
﹣2）＝0，所以 a＝2．

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则 ，
任取 x1＜x2，
则
因为 x1＜x2，所以 ， ， ，所以 f（x1）﹣f（x2）＜0
所以 f（x1）＜f（x2），所以 f（x）在 R 上单调递增；
（2）f（m
2
）+f（m﹣2）≤2﹣m
2
﹣m 可化为 f（m
2
）+m
2
≤f（2﹣m）+2﹣m，
设函数 g（x）＝f（x）+x，由（1）可知，g（x）＝f（x）+x 在 R 上也是单调递增，
所以 m
2
≤2﹣m，即 m
2
+m﹣2≤0，解得﹣2≤m≤1．
21．【解答】解：（1）设∠BAD＝α，在△ABD 中，由正弦定理得， ，
而在直角△ABC 中，AB＝BCsinC，∴ ，
∵AC＝AD，∴C＝D，又∵CB＝2BD，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）设∠BAD＝α，在△ABD 中，由正弦定理得， ，
而在直角△ABC 中，AB＝BCcos∠ABC＝BCcos（α+D），
∴ ，
∵CB＝2BD，∴sinD＝2sinαcosαcosD﹣2sin
2
αsinD，
即 ＝ 2tanD
＝tanDcos2α+sin2α＝ ，
根据三角函数有界性得， 及 ，
解得 ，
∴角 D 的最大值为 ．
22．【解答】解：（1）∵圆 O：x
2
+y
2
＝16，圆心 O（0，0），半径 r＝4，

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∵直线 与圆 O 相交于 A，B 两点，且 ，
∴圆心 O 到直线 l 的距离 ，
又 ，解得 t＝6，∴直线 l 的方程为 ．
（2）∵点 E，F 分别是圆 O 与 x 轴的左、右两个交点， ，∴E（﹣4，0），F（4，0），D（2，0），
设 M（m，n），N（x，y），
则 ，
∵ ，∴ ，即 ．又∵点 N 在线段 MF 上，即 共线，
∴（m﹣4）y＝n（x﹣4），
∴ ，∵点 M 是圆 O 上任意一点，∴m
2
+n
2
＝16，
∴将 m，n 代入上式，可得 ，即 ．
点 N 在 以 为 圆 心 ， 半 径 为 的 圆 R 上 ． 圆 心 R 到 直 线 的 距 离
，∴ ∴点 N 到直线 距离的最小值为 1．
（说明：利用点 M，N，F 三点共线，求出 ，进而可得 M，N 点坐标之间的关系，同样对应给分）