2018-2019学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（下）期末数学试卷

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2018-2019 学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1．（5 分）在等差数列{an}中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
2．（5 分）如图是 60 名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率是（ ）

A．75% B．25% C．15% D．40%
3．（5 分）若直线 2mx+y+6＝0 与直线（m﹣3）x﹣y+7＝0 平行，则 m 的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1 或﹣1 D．3
4．（5 分）以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
5．（5 分）一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在
C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么
B，C 两点间的距离是（ ）海里．

A．10 B．20 C．10 D．20
6．（5 分）已知 α，β是两个不重合的平面，下列四个条件中能推出 α∥β的个数是（ ）
①存在一条直线 a，a⊥α，a⊥β；
②存在一个平面 γ，γ⊥α，γ⊥β；

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③存在两条平行直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5 分）已知正数组成的等比数列{an}，若 a1?a20＝100，那么 a7+a14 的最小值为（ ）
A．20 B．25 C．50 D．不存在
8．（5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为 和 s
2
，若从下月起每
位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A． ，s
2
+100
2
B． +100，s
2
+100
2

C． ，s
2
D． +100，s
2

9．（5 分）若直线 ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆 x
2
+y
2
+2x﹣4y+1＝0 截得的弦长为 4，则 的最小值为（ ）
A． B． C． + D． +2
10．（5 分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 a＞b，b＜c 时称为“凹数”（如
213，312 等），若 a，b，c∈{1，2，3，4}且 a，b，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（5 分）在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，已知 ，E 为 CC1 的中点，则二面角 E﹣BD﹣C 的平面
角的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）△ABC中 ，△ABC所在平面内存在点 P使得 PB
2
+PC
2
＝3PA
2
＝3，则△ABC面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．（5 分）若两个球的表面积之比是 4：9，则它们的体积之比是 ．
14．（5 分）某公司有 A、B 两个部门，共有职工 300 人，其中 A 部门有职工 132 人，按部门职工数比例用分层抽样
的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为 25 的样本，则从 B 部门抽取的员工人数是 ．
15．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则角 C＝ ．
16．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（﹣4，0），B（0，4），从直线 AB 上一点 P 向圆（x﹣1）
2
+（y+1）
2

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＝4 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，则直线 CD 过定点，定点坐标为 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥AC，AC＝AA1，D 是棱 AB 的中点．
（1）求证：BC1∥平面 A1CD；
（2）求证：BC1⊥A1C．

18．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝3，b＝5，c＝7．
（1）求角 C 的大小；
（2）求 sin（B+ ）的值．
19．（12 分）已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，g（x）＝|a﹣1|﹣a|x|．
（1）当 x＜0 时，求不等式 f（x）＜4 的解集；
（2）设函数 f（x）的值域为 M，函数 g（x）的值域为 N，若满足 M∩N＝?，求 a 的取值范围．
20．（12 分）如图，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形 BCDE 区域内部展示文物，
DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观在 AE上的点 P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，
其中 M，N 在线段 D，E（含端点）上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知：AD＝8 米，AE＝8 米，AP＝2
米， ．记∠EPM＝θ，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为 S 平方米．
（1）求 S 关于 θ的函数关系式，并写出 cosθ 的取值范围；
（2）求可视区域△PMN 的面积的最小值．


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21．（12 分）已知点 A（﹣2，2），B（2，6）C（﹣6，6），其外接圆为圆 H．
（1）求圆 H 的方程；
（2）若直线 l 过点 P（0，5），且被圆截得的弦长为 ，求直线 l 的方程；
（3）对于线段 OA 上任意一点 P，若在以 B 为圆心的圆上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中
点，求圆 B 的半径 r 的取值范围．
22．（10 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足： ．
（1）若 ，求 a1的值；
（2）若 a1，a2，a3 成等差数列，求数列{an}的通项公式．


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2018-2019 学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1．【解答】解：在等差数列{an}中，若 a2＝4，a4＝2，则 a4＝ （a2+a6）＝ ＝2，
解得 a6＝0．
故选：B．
2．【解答】解：大于或等于 60 分的共四组，它们是：
[59.5，69.5），[69.5，79.5），[79.5，89.5），[89.5，99.5）．
分别计算出这四组的频率，
如[79.5，89.5）这一组的矩形的高为 0.025
直方图中的各个矩形的面积代表了频率，则[79.5，89.5）这一组的频率＝0.025×10＝0.25
同样可得，60 分及以上的频率＝（0.015+0.03+0.025+0.005）×10＝0.75
估计这次数学竞赛竞赛的及格率（大于或等于 60 分为及格）为 75%，
故选：A．
3．【解答】解：因为两条直线平行，所以：
解得 m＝1
故选：B．
4．【解答】解：边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1＝2π，
故选：A．
5．【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，
从而∠ACB＝45°．
在△ABC 中，由正弦定理可得 BC＝ ×sin30°＝10 ．
故选：A．

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6．【解答】解：由 α，β 是两个不重合的平面，知：
在①中，存在一条直线 a，a⊥α，a⊥β，
由面面平行的判定定理得 α∥β，故①正确；
在②中，存在一个平面 γ，γ⊥α，γ⊥β，
则 α 与 β相交或平行，故②错误；
在③中，存在两条平行直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，
则 α 与 β相交或平行，故③错误；
④存在两条异面直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，
由面面平行的判定定理得 α∥β，故④正确．
故选：C．
7．【解答】解：∵正数组成的等比数列{an}，a1?a20＝100，
∴a1?a20＝a7?a14＝100，
∴a7+a14≥2 ＝2 ＝2 ＝20．
当且仅当 a7＝a14时，a7+a14 取最小值 20．
故选：A．
8．【解答】解：由题意知 yi＝xi+100，
则 ＝ （x1+x2+…+x10+100×10）＝ （x1+x2+…+x10）＝ +100，
方差 s
2
＝ [（x1+100﹣（ +100）
2
+（x2+100﹣（ +100）
2
+…+（x10+100﹣（ +100）
2
]＝ [（x1﹣ ）
2
+（x2
﹣ ）
2
+…+（x10﹣ ）
2
]＝s
2
．
故选：D．
9．【解答】解：圆 x
2
+y
2
+2x﹣4y+1＝0 即 （x+1）
2
+（y﹣2）
2
＝4，表示以 M（﹣1，2）为圆心，以 2 为半径的

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圆，
由题意可得 圆心在直线 ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）上，故﹣1a﹣2b+2＝0，
即 a+2b＝2，∴ ＝ + ＝ + + +1≥ +2 ＝ ，
当且仅当 时，等号成立，
故选：C．
10．【解答】解：根据题意，要得到一个满足 a≠c 的三位“凹数”，
在{1，2，3，4}的 4 个整数中任取 3 个不同的数组成三位数，有 C4
3
× ＝24 种取法，
在{1，2，3，4}的 4 个整数中任取 3 个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的 2 个数字分别放在百、个位上，
有 C4
3
×2＝8 种情况，
则这个三位数是“凹数”的概率是 ；
故选：C．
11．【解答】解：如图，

连接 AC，BD，相交于点 O，
∵AB＝BC，∴OC⊥BD，而△BCE≌△DCE，
∴BE＝DE，则 OE⊥BD，
∴∠EOC 为二面角 E﹣BD﹣C 的平面角，
设 AB＝BC＝2，则 OC＝ ＝ ，
，则 CE＝ ．
∴∠EOC＝ ．
即二面角 E﹣BD﹣C 的平面角的大小为 ．

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故选：B．
12．【解答】解：以 BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，
建立直角坐标系，
设 B（﹣a，0），C（a，0），（a＞0），
则 A（0， ），
设 P（x，y），由 PB
2
+PC
2
＝3PA
2
＝3，可得
（x+a）
2
+y
2
+（x﹣a）
2
+y
2
＝3[x
2
+（y﹣ ）
2
]＝3，
可得 x
2
+y
2
＝ ﹣a
2
，x
2
+（y﹣ ）
2
＝1，
即有点 P 既在（0，0）为圆心，半径为 的圆上，
也在（0， ）为圆心，1 为半径的圆上，
可得|1﹣ |≤ ≤1+ ，
由两边平方化简可得 a
2
≤ ，
则△ABC 的面积为 S＝ ?2a? ＝a ＝ ＝ ，
由 a
2
≤ ，可得 a
2
＝ ，S 取得最大值，且为 ．
故选：B．

二、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．【解答】解：设两个球的半径分别为 R，r，则表面积之比是 4πR
2
：4πr
2
＝4：9，
所以 R：r＝2：3，

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球的体积之比为 ＝8：27；
故答案为：8：27．
14．【解答】解：B 部门的员工有 300﹣132＝168（人），
从 B 部门中应抽取的人数为 25× ＝14．
故答案为：14．
15．【解答】解：由余弦定理，有 c
2
＝a
2
+b
2
﹣2abcosC，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵C∈（0，π），∴C＝ ．
故答案为： ．
16．【解答】解：如图，

直线 AB 的方程为 x﹣y+4＝0，
设 P（x0，y0），则 y0＝x0+4，①
当 CD 的直线的斜率存在，
（x﹣1）
2
+（y+1）
2
＝4，②
圆心为（1，﹣1），则：圆心到 P 点的中点坐标为：（ ， ），
圆心到 P 点的距离为 d＝ ；

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所以以 d 为直径的圆的方程为：（x﹣ ）
2
+（y﹣ ）
2
＝ ③
将 d 代入③，由②﹣③可得 CD 的直线系方程：（x0﹣1） x+（ y0+1） y﹣2﹣ +
＝0；
因为 x0∈R，
可取两值 x0代入得两直线；
则两直线的交点即为 CD 过的定点，定点坐标为：（ ，﹣ ）；
故答案为：（ ，﹣ ）；
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解答】证明：（1）连接 AC1，设 AC1∩A1C＝O，连接 OD，
在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，侧面 ACC1A1 是平行四边形，
所以：O 为 AC1的中点，
又因为：D 是棱 AB 的中点，
所以：OD∥BC1，
又因为：BC1?平面 A1CD，OD?平面 A1CD，
所以：BC1∥平面 A1CD．
（2）由（1）可知：侧面 ACC1A1 是平行四边形，
因为：AC＝AA1，
所以：平行四边形 ACC1A1 是棱形，
所以：AC1⊥A1C，
在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面 ABC，
因为：AB?平面 ABC，
所以：AB⊥AA1，
又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC?平面 ACC1A1，AA1?平面 ACC1A1，
所以：AB⊥平面 ACC1A1，
因为：A1C?平面 ACC1A1，

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所以：AB⊥A1C，
又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB?平面 ABC1，AC1?平面 ABC1，
所以：A1C⊥平面 ABC1，
因为：BC1?平面 ABC1，
所以：BC1⊥A1C．

18．【解答】解：（1）在△ABC 中，由余弦定理可得 cosC＝ ＝ ＝﹣ ，∴C＝ ．
（2）由正弦定理可得 ，即 ，sinB＝ ．
再由 B 为锐角，可得 cosB＝ ＝ ，∴sin（B+ ）＝sinBcos +cosBsin ＝ +
＝ ．
19．【解答】解：（1）f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，∵x＜0，f（x）＜4，
∴当 时，有 1﹣2x﹣2x﹣1＜4，∴ ；
当 时，1﹣2x+2x+1＜4，∴ ，
∴当 x＜0 时不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；
（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|＝2，∴f（x）的值域为 M＝[2，+∞）；
当 a≥0 时，∵|x|≥0，∴g（x）的值域（﹣∞，|a﹣1|]，
若 M∩N＝?则|a﹣1|＜2，∴﹣1＜a＜3，又 a≥0，∴0≤a＜3；

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当 a＜0 时，∵|x|≥0，∴g（x）的值域为[|a﹣1|，+∞），
此时一定满足 M∩N≠?，∴a＜0 不符合条件，
综上，a 的取值范围为[0，3）．
20．【解答】解：（1）在△PME 中，∠EPM＝θ，PE＝8﹣2＝6（米），∠PEM＝ ，∠PME＝ ﹣θ，
由正弦定理可得 PM＝ ＝ ＝ ，
同理，在△PNE 中，PN＝ ＝ ，
∴△PMN 的面积为
S＝ ?PM?PN?sin∠MPN
＝ ? ? ?
＝
＝ ，
当 M 与 E 重合时，θ＝0，
N 与 D 重合时，cos∠APD＝ ＝ ，
即 θ＝ ﹣arccos ，
∴0≤θ≤ ﹣arccos ，
∴ ≤cosθ≤1；
综上所述，S＝ ，cosθ∈[ ，1]；
（2）当 2θ+ ＝ ，即 θ＝ 时，
S 取得最小值为 ＝18（ ﹣1）平方米．

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21．【解答】解：（1）设圆 H 的一般方程为：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F＝0，
∵A，B，C 三点在圆上，
∴ ，解得： ，
∴圆 H 的方程为：（x+2）
2
+（y﹣6）
2
＝16
（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x＝0，易得 l 被圆截得的弦长为 4 ，符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：y＝kx+5，即 kx﹣y+5＝0，
圆心到直线 l 的距离 d＝ ＝ ，
∴4 ＝2 ，即 12＝16﹣ ，解得 k＝ ，
综上所述：直线 l 的方程为 x＝0 或 y＝ x+5．
（3）线段 OA 的方程为：x+y＝0，设 P（m，n），（﹣2≤m≤0），N（x，y），
因为点 M 为 PN 的中点，所以 M（ ， ），
又 M，N 都在半径为 r 的圆 B 上，
所以 ，
即 ，
根据两圆有公共点，可得（2r﹣r）
2
≤（2﹣4+m）
2
+（6﹣12+n）
2
≤（2r+r）
2
，
又 m+n＝0，所以 r
2
≤2m
2
+8m+40≤9r
2
，d 对任意的﹣2≤m≤0 恒成立，
设 f（m）＝2m
2
+8m+40，（﹣2≤m≤0），
因为 f（m）在[﹣2，0]上的值域为[32，40]，
所以 r
2
≤32 且 9r
2
≥40，
解得 ≤r≤4 ，
又线段 OA 与圆 B 无公共点，所以（m﹣2）
2
+（n﹣6）
2
＞r
2
，且 m+n＝0，
所以 r＜4 ．

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综上所述：圆 B 的半径 r 的取值范围是[ ，4 ）．
22．【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
即 ，
解得 或 ．
（2）设等差数列 a1，a2，a3的公差为 d．
因为 ，
所以 ，①
，②
，③
②﹣①，
得 ，
即 a2＝d（a1+a2+2p），④
③﹣②，
得 ，
即 a3＝d（a2+a3+2p），⑤
⑤﹣④，
得 a3﹣a2＝d[（a2+a3+2p）﹣（a1+a2+2p）]，
即 d＝2d
2
．
若 d＝0，则 a2＝a3＝0，与 an＞0 矛盾，
故 ．
代入④得 ，
于是 ．

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因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，
于是 ．
因为 an＞0，
所以 ，
即 ．
因为 ，
所以 ．
所以数列{an}是首项为 ，公差为 的等差数列．
因此， ．