第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
解析：Δy＝(2＋0.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．在求函数的平均变化率时，自变量的增量Δx应满足条件( )
A．Δx>0 B．Δx<0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
解析：Δx是指函数的自变量在某一点处的变化量，可以是增大量，也可以是减小量，但不能为0，故选D.
答案：D
3．一运动物体的运动路程s(t)与时间x的函数关系为s(t)＝－t2＋2t，则s(t)从2到2＋Δt的平均速度为( )
A．2－Δt B．－2－Δt
C．2＋Δt D．(Δt)2－2Δt
解析：因为s(2)＝－22＋2×2＝0，
所以s(2＋Δt)＝－(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＝－2Δt－(Δt)2，
所以＝－2－Δt.
答案：B
4.函数f(x)＝x，g(x)＝x2在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是( )
A．m1＝m2 B．m1>m2
C．m2>m1 D．m1，m2的大小无法确定
解析：m1＝＝f(1)－f(0)＝1－0＝1，
m2＝＝g(1)－g(0)＝12－0＝1，
故m1＝m2.
答案：A
5．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析：由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且两机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故A机关比B机关节能效果好．
答案：B
二、填空题
6．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
解析：＝＝－＝－.
答案：－
7．2019年4月5日，某地上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为__________℃/min.
解析：从上午9：20到下午1：30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为＝－0.03(℃/min)．
答案：－0.03
8.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
答案：[x3，x4]
三、解答题
9．已知一次函数f(x)在区间[－2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点(0，2)，试求该一次函数的表达式．
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
因为函数f(x)的图象过点(0，2)，所以b＝2，即f(x)＝kx＋2.
因为＝＝2，即＝2，
解得k＝2，
所以该一次函数的表达式为f(x)＝2x＋2.
10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．
B级 能力提升
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4.
答案：B
2．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数表达式为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是________(填序号)．
①前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24 m；
②在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m；
③前3 s内球的平均速度为8 m/s；
④在时间[2，3]内球的平均速度为12 m/s.
解析：前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，此时平均速率为＝＝8(m/s)，故①③正确；在时间[2，3]内，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，故平均速度为＝12(m/s)，所以②④正确．综上，①②③④都正确．
答案：①②③④
3．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)当x1＝4，且Δx＝1时，求函数增量Δy和平均变化率；
(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，求函数增量Δy和平均变化率；
(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义．
解：因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
(1)当x1＝4，Δx＝1时，
Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，
则＝＝21.
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，
Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
则＝＝19.2.
(3)在(1)中，＝，它表示拋物线上点A(4，39)与点B(5，60)连接的斜率；
在(2)中，＝，它表示抛物线上点A(4，39)与点C(4.1，40.92)连线的斜率.
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