第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.2 导数的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知f(x)在x＝x0处可导，则lim 的值( )
A．与x0，Δx有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
解析：f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与Δx无关．
答案：B
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t＝3 s时的瞬时速度为( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：因为＝＝5＋Δt，
所以 ＝ (5＋Δt)＝5(m/s)．
答案：C
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：因为f′(x0)＝ ＝
＝ (a＋bΔx)＝a，所以f′(x0)＝a.
答案：C
4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝( )
A．2 B．－2 C．3 D．不确定
解析：因为f′(1)＝ ＝ ＝a＝2，所以a＝2，故选A.
答案：A
5.物体的运动方程是S＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( )
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
解析：＝－8t＋16，令－8t＋16＝0，得t＝2.
答案：B
二、填空题
6．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________．
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.
答案：2Δx＋(Δx)2
7．一做直线运动的物体，其位移s(m)与时间t(s)的关系是s＝3t－t2，则该物体的初速度是________．
解析：V初＝＝ (3－Δt)＝3 m/s，故物体的初速度为3 m/s.
答案：3 m/s
8．设函数f(x)满足 ＝－1，则f′(1)＝________．
解析： ＝ ＝f′(1)＝－1.
答案：－1
三、解答题
9．若一物体运动的位移s与时间t的关系如下(位移单位：m，时间单位：s)：
s＝
求：(1)物体在t∈[3，5]上的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)因为物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3，5]上的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24(m/s)，
所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为
＝＝3Δt－18，
所以物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18.
即物体的初速度v0为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为
＝＝3Δt－12.
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
10．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
所以＝＝2Δx＋16.
所以y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
B级 能力提升
1．某物体运动规律是s＝t2－4t＋5，若此物体的瞬时速度为0，则t＝( )
A．3 B．2.5 C．2 D．1
解析：Δs＝(t＋Δt)2－4(t＋Δt)＋5－(t2－4t＋5)＝2tΔt＋(Δt)2－4Δt，因为v＝ ＝2t－4＝0，所以t＝2.
答案：C
2．已知f′(x0)>0，若a＝ ，
b＝ ，
c＝ .
则a，b，c的大小关系为________．
解析：a＝ ＝f′(x0)，
b＝
＝－ ＝－f′(x0)，
c＝
＝2 ＝2f′(x0)．
答案：c>a>b
3．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解：因为f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.
所以f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔ x＋2a)＝2a，即2a＝2，
所以a＝1.
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