第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.3 导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)与f′(5)分别为( )
A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－1，－1
解析：由题意得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.
答案：B
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＜0 B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝3 D．f′(x0)不存在
解析：由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f′(x0)＝3.
答案：C
3.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：从题图可以看出函数f(x)的图象在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的切线的斜率大，且均为正数，所以有0答案：B
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
答案：A
5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，所以b＝1.
又y′＝ ＝2x＋a，所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
答案：A
二、填空题
6．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1，6)处的切线方程是______．
解析：因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1，6)，所以斜率k＝y′|x＝－1
＝
＝ (Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
答案：4x＋y－2＝0
7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝______．
解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
8.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
解析：根据题意可知在点P处切线的斜率为y′|x＝－2＝－5.因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，故切线OP的斜率为－，根据题意有－＝－5，解得c＝4.
答案：4
三、解答题
9．已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．
解：由方程组得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，
又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时Δx＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2，所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
10．求曲线y＝在点的切线方程．
解：因为y′＝Δx→0 ＝ ＝
＝－，
所以曲线在点的切线斜率为k＝y′|x＝＝－4.
故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
B级 能力提升
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
解析：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.
答案：D
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为________．
解析：可设点P的横坐标为x0，则
＝＝
＝Δx＋2x0＋2， ＝2x0＋2.所以曲线C在点P处的切线的斜率为2x0＋2.由题意，得0≤2x0＋2≤1，所以－1≤x0≤－，所以点P的横坐标的取值范围为.
答案：
3．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：(1)因为y′＝
＝
＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，所以x0＝－，
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1，0)，，
所以所求三角形面积S＝××＝.
课件31张PPT。第一章 导数及其应用
