第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）
A级 基础巩固
一、选择题
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；②sin π3′＝cos π3；③若y＝1x2，则y′＝－1x；④－1x′＝12xx .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin π3＝32，而32′＝0，所以②错误.1x2′＝(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3＝－2x3，所以③错误.－1x′＝(－x－12)′＝12x－12－1＝12x－32＝12xx，所以④正确．
答案：B
2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－2，则a的值等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析：若a＝2，则f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，
所以f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．
答案：A
3．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A．4 B．－4 C．28 D．－28
解析：因为y′＝3x2，所以点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.
所以切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
所以k＝12，b＝－16，所以k－b＝28.
答案：C
4．已知f(x)＝2x，g(x)＝ln x，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为( )
A．1 B.12 C．－1或12 D．－1
解析：由g(x)＝ln x，得x>0，且g′(x)＝1x.
故2x＋1＝1x，
即2x2＋x－1＝0，
解得x＝12或x＝－1.
又因x>0，
故x＝12，选B.
答案：B
5．曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是( )
A.π2 B.π3 C.π6 D.π4
解析：由题知，y′＝cos x，所以y′|x＝0＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝π4.
答案：D
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3，x<0，ln x，0
解析：f′(x)＝3x2，x<0，1x，0答案：112或－2
7．曲线y＝x3＋3x在点(1，4)处的切线方程为____________．
解析：对函数求导得到y′＝3x2＋3，当x＝1时，y′＝6，又点(1，4)在切线上，所以切线方程为y－4＝6(x－1)，即6x－y－2＝0.
答案：6x－y－2＝0
8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是________．
解析：设切点坐标为(x0，x30)，因为y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3x20，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3x20＝12，解得x0＝±2，故切点为(2，8)或(－2，－8)．
答案：(2，8)或(－2，－8)
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝5x3；
(2)y＝1x4；
(3)y＝－2sin x21－2cos2 x4；
(4)y＝log2 x2－log2 x.
解：(1)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x35－1＝35x－25＝355x2.
(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4x5.
(3)因为y＝－2sinx21－2cos2x4
＝2sinx22cos2x4－1
＝2sinx2cosx2＝sin x，
所以y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)因为y＝log2x2－log2x＝log2x，
所以y′＝(log2x)′＝1xln 2.
10．求曲线y＝1x和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：由y＝1x，y＝x2得交点A的坐标为(1，1)．
由y＝x2得y′＝2x，
所以y＝x2在点A(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
由y＝1x，得y′＝－1x2，
所以y＝1x在点A(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋2.
又直线y＝2x－1与x轴交点为B12，0，
直线y＝－x＋2与x轴交点为C(2，0)，
所以所求面积S＝12×2－12×1＝34.
B级 能力提升
1．某质点的运动方程为s＝1t4(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为( )
A．－4×3－4 m/s B．－3×3－4 m/s
C．－5×3－5 m/s D．－4×3－5 m/s
解析：由s＝1t4得s′＝1t4′＝(t－4)′＝－4t－5.
所以s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.
答案：D
2．已知f(x)＝cos x(x∈[0，2π])，g(x)＝x，解不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________．
解析：f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，所以不等式f′(x)＋g′(x)≤0，变为－sin x＋1≤0.
即sin x≥1，又sin x≤1，所以sin x＝1，
又x∈[0，2π]，所以x＝π2.
答案：π2
3．已知曲线y＝x，求：
(1)与直线y＝2x－4平行的曲线的切线方程；
(2)求过点P(0，1)且与曲线相切的切线方程．
解：(1)设切点坐标为(x0，y0)，
由y＝x，得y′|x＝x0＝12x0 .
因为切线与y＝2x－4平行，所以12x0＝2，
所以x0＝116，所以y0＝14.
则所求切线方程为y－14＝2x－116，
即16x－8y＋1＝0.
(2)设切点P1(x1，x1)，则切线斜率为y′|x＝x1＝12x1，
所以切线方程为y－x1＝12x1(x－x1)．
又切线过点P(0，1)，所以1－x1＝12x1(－x1)，
即x1＝2，x1＝4.
所以切线方程为y－2＝14(x－4)，
即x－4y＋4＝0.
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