第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算
1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）
A级 基础巩固
一、选择题
1．若f(x)＝sin －cos x，则f′(α)等于( )
A．sin α B．cos α
C．sin ＋cos α D．cos ＋sin α
解析：由f(x)＝sin －cos x，得f′(x)＝sin x，
所以f′(α)＝sin α.
答案：A
2．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )
A. B. C. D.
解析：因为f(x)＝3ax2＋18x＋6，所以由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.
答案：B
3．已知函数f(x)＝x－sin x，且f(x)的导数为f′(x)，若a＝f′，b＝f′，c＝f′，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
b>c
C．a解析：因为f′(x)＝1－cos x，所以f′(x)在上单调递增，所以f′答案：C
4．下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝ex
C．y＝ln x D．y＝cos x－
解析：由y＝sin x得y′＝cos x为偶函数，所以A错；
由y＝ex得，y′＝ex为非奇非偶函数，所以B错；C中y＝ln x的定义域为{x|x＞0}，所以C错；D中y＝cos x－，y′＝－sin x为奇函数，所以选D.
答案：D
5．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于＝－，所以f′(3)＝－，
因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，
所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案：B
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝____．
解析：f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0.
解得x＝－或x＝1，又x＞0，所以x＝1.
答案：1
7．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为
f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1，2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是__________________．
解析：由题意可知，f′(－1)＝－3，所以a＋be－1＝－3，
又f(－1)＝2，所以－a＋be－1＝2，解之得a＝－，
b＝－e，故f(x)＝－x－ex＋1.
答案：f(x)＝－x－ex＋1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝；
(4)y＝xsin x－.
解：(1)y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
(2)因为(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6.
所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝′＝＝
＝.
(4)y′＝(xsin x)′－′＝sin x＋xcos x－.
10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，求实数a，b的值．
解：函数f(x)＝ax－的导数为f′(x)＝a＋，可得y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为a＋，切点为，由切线方程7x－4y－12＝0，可得a＋＝，2a－＝，
解得a＝1，b＝3.
B级 能力提升
1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
解析：由f(x)＝x2－2x－4ln x得f′(x)＝2x－2－＞0，整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为{x|x＞0}，所以选项C正确．
答案：C
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．
解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，
所以f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)＝2x－4，
所以f′(0)＝－4.
答案：－4
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式．
解：因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，
f(1)＝5，所以解得
故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.
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