第一章 导数及其应用
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数
A级 基础巩固
一、选择题
1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，所以x＝ln(－a)．
又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.
答案：A
2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A．－e B．－1
C．1－e D．0
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
答案：B
3．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0
2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
答案：D
4．若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：f′(x)＝a－，因为f′＝0，即a－＝0，解得a＝.
答案：A
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a的取值范围是( )
A．(0，2] B．(0，2) C．[，2) D．(，2)
解析：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为________．
解析：f′(x)＝1－2sin x，令f′(x)＝0得x＝.
当0＜x＜时，f′(x)＞0；
当＜x＜时，f′(x)＜0.
所以当x＝时，f(x)有极大值．
答案：
7．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
解析：由f(x)＝x3－3x2＋1，
得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．
答案：2
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既无极大值又无极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
因为函数f(x)既有无大值又有无小值，
所以Δ＝36a2－36(a＋2)≤0，
即a2－a－2≤0，
解得－1≤a≤2.
答案：[－1，2]
三、解答题
9．求下列函数的极值；
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝－2.
解：(1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
?↘
极小值
?↗
从表中可以看出，当x＝－2时，函数取得极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)取得极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?↘
极小值
?↗
极大值
?↘
当x＝－1时，f(x)取得极小值，并且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，f(x)取得极大值，并且f(1)＝－2＝－1.
10．若函数f(x)＝ax3－bx＋2，当x＝1时，函数f(x)取极值0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
解：(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b.
所以?
故所求的函数解析式为f(x)＝x3－3x＋2.
(2)由(1)可知f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值4
?↘
极小值0
?↗
因此，当x＝－1时，f(x)有极大值4，
当x＝1时，f(x)有极小值0，
故实数k的取值范围为(0，4)．
B级 能力提升
1．函数f(x)＝x3－(2b＋1)x2＋b(b＋1)x在(0，2)内有极小值，则( )
A．0＜b＜1 B．0＜b＜2
C．－1＜b＜1 D．－1＜b＜2
解析：f′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)[x－(b＋1)]，令f′(x)＝0，则x＝b或x＝b＋1，x＝b＋1是极小值点，所以0＜b＋1＜2，得－1＜b＜1.
答案：C
2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________(填序号)．
①当x＝时，函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
解析：由题可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点，分别为1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数值取得极大值．只有①不正确．
答案：①
3．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)或x∈(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝
4(1－e－2)．
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