2019秋数学人教A版选修2-2（课件33张 训练）：1.3.3函数的最大（小）值与导数（2份）

第一章 导数及其应用
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大（小）值与导数
[A级　基础巩固]
一、选择题
1．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e C．e2 D.
解析：令y′＝＝＝0(x>0)，
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00.
y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，
所以ymax＝.
答案：A
2．函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是(　　)
A．－ B．2
C.＋ D.＋1
解析：令f′(x)＝1－2sin x＝0，因为x∈，所以f′(x)＞0，所以f(x)在单调递增，
所以f(x)min＝－.
答案：A
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．0≤a<1 B．0C．－1解析：因为f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，依题意f′(x)＝0在(0，1)内有解．所以0答案：B
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a，2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B. C．－ D.或－
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，f(x)在x＝－1处取得极大值，也是最大值f(－1)＝4，不合题意．当－1答案：C
5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
解析：令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.
经检验，知x＝3是函数的最小值点，
所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.
答案：A
二、填空题
6．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．
解析：令f′(x)＝(ex－e－x)＝0，得x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0，1)，切线斜率为k＝f′(0)＝0，所以切线方程为y＝1.
答案：y＝1
7．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
所以f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
答案：－1
8．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1，且对任意x∈(0，1]，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当x∈(0，1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥.
设g(x)＝，x∈(0，1]，
则g′(x)＝＝－.
令g′(x)＝0，得x＝.
g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：
x



g′(x)
＋
0
－
g(x)
?↗
极大值4
?↘
因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．
答案：[4，＋∞)
三、解答题
9．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0.
求函数f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．
解：f′(x)＝3x2－2ax－4，由f′(－1)＝0，
得3＋2a－4＝0，所以a＝.
所以f(x)＝(x2－4)，
f′(x)＝3x2－x－4＝(3x－4)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
而f(－2)＝f(2)＝0，f(－1)＝，f＝－，
所以f(x)max＝，f(x)min＝－.
10．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．
解：(1)由题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋＝.
①当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，令f′(x)>0，得x>－a，
所以f(x)的单调递增区间为(－a，＋∞)．
(2)由(1)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，则当x∈[1，e]时，x＋a≥0，
即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)；
②若a≤－e，则当x∈[1，e]时，x＋a≤0，
即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，
所以f(x)min＝f(e)＝1－＝，所以a＝－(舍去)；
③若－e0，所以f(x)在(－a，e)上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，所以a＝－.
综上所述，a＝－.
B级　能力提升
1．若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－，1) B．[－，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
解析：因为f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增；在(－1，1)上单调递减，如图．函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，最小值为f(1)，所以解得－2≤a<1，故实数a的取值范围是[－2，1)．
答案：C
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
解析：法一　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2＝4(cos x＋1)，所以当cos x<时函数单调递减，
当cos x>时函数单调递增，
从而得到函数的减区间为(k∈Z)，
函数的增区间为(k∈Z)，
所以当x＝2kπ－，k∈Z时，函数f(x)取得最小值，
此时sin x＝－，sin 2x＝－，
所以f(x)min＝2×－＝－.
法二　因为f(x)＝2sin x＋sin 2x，所以f(x)最小正周期为T＝2π，
所以f′(x)＝2(cos x＋cos 2x)＝2(2cos2x＋cosx－1)，
令f′(x)＝0，即2cos2 x＋cos x－1＝0，
所以cos x＝或cos x＝－1.
所以当cos x＝为函数的极小值点时，x＝或x＝π，
当cos x＝－1时，x＝π，
所以f＝－，f＝，f(0)＝f(2π)＝0，
f(π)＝0，所以f(x)的最小值为－.
答案：－
3．已知f(x)＝x2－2ln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥2tx－在x∈(0，1]内恒成立，求t的取值范围．
解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＝0得x1＝－1(舍去)，x2＝1.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?↘
极小值1
?↗
所以当x＝1时，f(x)min＝1.
(2)由f(x)≥2tx－对x∈(0，1]恒成立，
得2t≤x＋－在x∈(0，1]内恒成立．
令h(x)＝x＋－，
则h′(x)＝.
因为x∈(0，1]，
所以x4－3<0，－2x2<0，2x2ln x≤0，x4>0，
所以h′(x)<0，
所以h(x)在(0，1]上是减函数．
所以当x＝1时，h(x)＝x＋－有最小值2.
所以2t≤2，t≤1，
所以t的取值范围是(－∞，1]．
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