第一章 导数及其应用
1.4 生活中的优生问题举例
A级 基础巩固
一、选择题
1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C．2 D.
解析：设底面边长为a，高为h，
则V＝Sh＝a2h，所以h＝＝，
则表面积为S＝3ah＋2×a2＝a2＋
则S′＝a－，
令S′＝a－＝0，可得a＝，即a＝.
答案：D
2．若一个球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )
A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D.πr2
解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，侧面积为S.
则R＝rcos θ，l＝2rsin θ，
所以S＝2πrcos θ·2rsin θ＝4πr2sin θcos θ，
S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ，
令S′＝0，得θ＝.
当θ＝，即R＝r时，
S最大且Smax＝2πr2.
答案：A
3．某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为( )
A．左右长12 cm，上下长18 cm
B．左右长12 cm，上下长19 cm
C．左右长11 cm，上下长18 cm
D．左右长13 cm，上下长17 cm
解析：设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长为(x＋2) cm，上下长为 cm，所以纸张的面积S＝(x＋2)＝3x＋＋156.
所以S′＝3－，令S′＝0，解得x＝10.
当x>10时，S单调递增；当0所以当x＝10时，Smin＝216 (cm2)，
此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm.
故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约．
答案：A
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200 C．250 D．300
解析：由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，经检验当x＝300时总利润最大，故选D.
答案：D
5．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2)，0当所以当x＝时，V取最大值．
答案：D
二、填空题
6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
解析：由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′>0，解得x>40或x<－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x>0)在[40，＋∞]上递增，在(0，40)上递减．
所以当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
答案：40
7．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，
因为S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋π(R>0)，
所以S表′(R)＝2πR－，令S表′(R)＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小．
答案：3
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x＝________．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
所以总运费与总存储费之和(单位：万元)f(x)＝4n＋4x＝＋4x，f′(x)＝4－，令f′(x)＝0，解得x＝20(－20舍去)，当00.
所以x＝20是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，故当x＝20时，运费与总存储费之和最小．
答案：20
三、解答题
9.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
解：设C点距D点xkm，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
10.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图)．问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为x m(1＜x＜4)，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为
＝(m)，
于是底面正六边形的面积为
S＝6×()2＝(8＋2x－x2)(m2)，
所以帐篷的体积为
V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)＝
(16＋12x－x3)(m3)，求导数，得V′＝(12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
当1所以当x＝2时，V最大．
即当OO1为2 m时，帐篷的体积最大．
B级 能力提升
1．某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32 m，16 m B．30 m，15 m
C．40 m，20 m D．36 m，18 m
解析：设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy＝512，堆料场的周长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.
答案：A
2．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为(，1－
)，
所以矩形ACBD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0，2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
所以x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
所以当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
3．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝＋4(x－6)2，其中2(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．
解：(1)因为x＝4时，y＝21，
代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，
解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)＝(x－2)＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2从而f ′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2令f ′(x)＝0，得x＝，且在上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；在上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以x＝是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
课件42张PPT。第一章 导数及其应用
