第一章 导数及其应用
1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
A级 基础巩固
一、选择题
1. 的含义可以是( )
A．由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
B．由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积
C．由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
D．由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积
解析：将区间[0，5]等分成n个小区间，则每个小区间的长度均为.因为＝，所以原式可以表示由直线x＝0，x＝5，y＝0和直线y＝3x围成的图形的面积．
答案：C
2．求由曲线y＝与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]等分成n个小区间，则第i个区间为( )
A. B.
C．[i－1，i] D.
解析：每个小区间的长度都是，每i个区间的左端点为1＋＝，右端点为1＋＝，所以第i个区间为.
答案：B
3．直线x＝a，x＝b(a
0)所围成的曲边梯形的面积S＝( )
解析：因为ΔSi＝f(ξ1)·，所以S＝ΔSi＝f(ξi)·.
答案：D
4．汽车以10 m/s的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )
A．80米 B．60米 C．40米 D．30米
解析：由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.令v(t)＝0，得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5] 5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(m)．
答案：D
5．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0，2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )
A．3.92，5.52 B．4，5
C．2，51，3.92 D．5.25，3.59
解析：将区间[0，2]5等分为，，，，，以小区间左端点对应的函数值为高，得S1＝
×＝3.92，
同理S2＝
×
＝5.52.故选A.
答案：A
二、填空题
6．在区间[0，8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．
解析：在区间[0，8]上插入9个等分点后，将区间[0，8]10等分，每个小区间的长度为＝，第5个小区间为.
答案：
7．若 xi=1,则 (2xi＋1)=______.
解析： (2xi＋1)＝2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋5＝2×1＋5＝7.
答案：7
8．在求由y＝0，x＝a，x＝b(0①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和大于S；
③n个小矩形的面积和S′小于S；
④n个小矩形的面积和S′等于S.
其中，所有正确结构的序号为________(填序号)．
解析：n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S，①正确；由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积小于小曲边梯形的面积，所以小矩形的面积和S′小于曲边梯形的面积S，③正确，②④错误．
答案：①③
三、解答题
9．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
解：(1)分割：将区间[1，2]等分成n个小区间，记第i个区间为(i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.每个小区间对应的小曲边梯形的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形的和为S＝ΔSi.
(2)近似代替：因为1＋< <1＋，所以可用f近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔSi可用以f为高，为底边长为小矩形的面积ΔSi′近似代替，即ΔSi≈ΔSi′＝f ·Δx＝·＝
(i＝1，2，…，n)．
(3)求和：
Sn＝ΔSi′＝＝
＋＋…＋＝
n＝
n·＝，
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极值：当n趋向于无穷大时，Sn越来越趋向于S，
所以S＝Sn＝.
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
10．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解：在时间区间[0，2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1，2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1，2，…，n)，则显然有s＝，取ξi＝(i＝1，2，…，n)．
于是Δsi＝v·Δt＝·，
sn＝＝·＋4＝8·＋4.
从而得到s的近似值s≈sn.
s＝sn＝ ＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
[B级 能力提升]
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间的任意一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案：C
2．如图所示，曲线C∶y＝2x(0≤x≤2)两端分别为M，N，且NA⊥x轴于点A，把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使其与x轴平行的边的一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C的下方，设这n个矩形的面积之和为Sn，则
[(2n－3)(－1)Sn]＝________．
解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为2，则Sn＝(1＋2＋2＋…＋2)＝·＝· .所以[(2n－3)(－1)Sn]＝ ＝12.
答案：12
3．求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2＋2x所围成的图形的面积S.
解：(1)分割：在区间[0，1]上等间隔地插入n－1个点，
将它等分为n个小区间：，，，…，，记第i个区间为(i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝ΔSi.
(2)近似代替：记f(x)＝x2＋2x.
当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f .从图形上看就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样在区间上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈ΔS′i＝f ·Δx＝.
(4)取极限：
分别将区间[0，1]等分成8，16，20，…等份，可以看到，当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝Sn＝ ＝.
即由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2＋2x所围成的图形的面积等于.
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