第一章 导数及其应用
1.5 定积分的概念
1.5.3 定积分的概念
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲、乙两车的速度曲线分别为v甲，v乙(如图所示)．那么对于图中给定的时刻t0和t1，下列判断中不一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：由于路程是速度关于时间的函数的积分，由定积分的几何意义，知速度曲线与t轴及直线t＝t1所围成图形的面积即t1时刻车子走过的路程，由题图可知曲线v甲与t轴及直线t＝t1所围成图形的面积比较大，所以t1时刻甲车在乙车的前面．
答案：A
2．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝( )
A．6 B．6(b－a) C．36 D．不确定
解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝6×6＝36.
答案：C
3．设f(x)＝则f(x)dx的值是( )
A.x2dx B.2xdx
C.x2dx＋2xdx D.2xdx＋x2dx
解析：由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1，1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1，0]与[0，1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.
答案：D
4．由函数y＝－x的图象(图略)，直线x＝1、x＝0、y＝0所围成的图形的面积可表示为( )
A.(－x)dx B.|－x|dx
C.xdx D．－xdx
解析：由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝
－(－x)dx＝|－x|dx.
答案：B
5．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正
解析：对于选项A，因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确；对于选项B，因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确；C显然正确；D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)＞0的曲线围成的面积比f(x)＜0的曲线围成的面积大．
答案：D
二、填空题
6．设f(x)是连续函数，若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________．
解析：因为f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，所以f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.
答案：－2
7．若dx＝，则实数m的值为________．
解析：易知y＝的图象为圆(x＋1)2＋y2＝1的上半部分，结合已知条件及定积分的几何意义可得m＝0.
答案：0
8．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
图① 图② 图③
(1)S1＝________________(图①)；
(2)S2＝________________(图②)；
(3)S3＝________________(图③)．
答案：
三、解答题
9．已知[f(x)＋g(x)]dx＝12，g(x)dx＝6，
求3f(x)dx.
解：因为[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝12，
g(x)dx＝6，
所以f(x)dx＝12－6＝6.
所以3f(x)dx＝3f(x)dx＝18.
10．用定积分的几何意义求dx.
解：由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin ＝－.
S矩形＝|AB|·|BC|＝2.
所以dx＝2＋－＝＋.
B级 能力提升
1．设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )
A．S＝(x2－x)dx
B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy
D．S＝(y－)dy
解析：作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，选B.
答案：B
2．不用计算，判断a＝xdx，b＝exdx，c＝sin xdx的大小关系：________．
解析：根据定积分的几何意义，a，b，c分别表示阴影部分的面积(如图所示)，由图易知c
答案：c3．计算定积分：[－x]dx.
解：dx＝dx－
xdx，
令S1＝dx，S2＝xdx.
S1，S2的几何意义如图1，2所示．
图1 图2
对S1＝dx，
令y＝≥0，则(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)，
由定积分几何意义知
S1＝dx＝π×12＝，
对于S2＝xdx，由其几何意义知S2＝×1×1＝，
故[－x]dx＝S1－S2＝－＝.
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