第一章 导数及其应用
1.6 微积分基本定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列定积分计算正确的是( )
A.|sin x|dx＝0 B.2xdx＝1
C.dx＝ln D.3x2dx＝3
解析：|sin x|dx＝2sin xdx＝－2cos x＝4；2xdx＝＝log2 e；dx＝(x－ln x)＝1－ln 2＝ln ；3x2dx＝x3＝2.
答案：C
2．若dx＝1－ln 3，且a>1，则a的值为( )
A．－3 B．ln 3 C. D．3
解析：dx＝＝a2－ln a－，故有a2－ln a－＝1－ln 3，解得a＝.
答案：C
3.|1－x|dx＝( )
A．0 B．1 C．2 D．－2
解析：|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝＋＝
＋－＝1.
答案：B
4．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1C．S2解析：S1＝x2dx＝x3＝，
S2＝dx＝ln x＝ln 2<1，
S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)>，
所以S2答案：B
5．f(x)＝cos tdt，则f＝( )
A．1 B．sin C．sin 2 D．2sin
解析：f(x)＝cos tdt＝sin t＝sin x－sin(－x)＝2sin x，
所以f ＝2sin ＝，所以f ＝f()＝2sin .
答案：D
二、填空题
6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
解析：长方形的面积S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则所求概率P＝＝.
答案：
7.(＋x)dx＝________．
解析：(＋x)dx＝ dx＋xdx，根据定积分的几何意义可知 dx等于半径为1的半圆的面积，即dx＝，－1＝0，
所以(＋x)dx＝.
答案：
8．若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：x2dx＝0＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.
答案：3
三、解答题
9．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)－(cos x＋2x)dx.
解：(1)因为dx＝dx＝[ln x－ln(x＋1)]|＝ln.
(2)－(cos x＋2x)dx＝－＝2＋·(2－2－)．
10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
解：由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.①
又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0，②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c，
所以a＋b＋c＝－2，③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.
B级 能力提升
1．设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：因为f(x)dx＝＝a＋c，
所以ax＋c＝a＋c，所以x＝，
因为0≤x0≤1，所以x0＝.
答案：B
2．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
解析：(kx＋1)dx＝1＝(2k＋2)－＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
答案：
3．计算dx.
解：如图，根据dx的几何意义，可得dx＝
－dx＝－ln x＝－ln 2－(－ln 1)＝－ln 2.
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