第一章 导数及其应用
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
A(x－x3)dx B.(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2(x－x3)dx
解析：由图象可知，当x∈(0，1)时，y＝x的图象在y＝x3图象的上方，根据对称性知，选项C正确．
答案：C
2．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是( )
A.(x2－1)dx
B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析：y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，选项C正确．
答案：C
3．如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－2
C. D.
解析：S＝(3－x2－2x)dx＝＝＋9＝，故应选C.
答案：C
4．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所做的功是( )
A．8 J B．10 J
C．12 J D．14 J
解析：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)．
答案：D
5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
解析：令7－3t＋＝0，解得t＝－(舍去)或t＝4.
则dt＝＝4＋25ln 5.
答案：C
二、填空题
6．直线x＝，x＝，y＝0及曲线y＝cos x所围成图形的面积________．
解析：由题意作出图形如图所示，由图形面积为
答案：2
7．已知质点的速度v＝10t，则从t＝t1到t＝t2质点的平均速度为________．
解析：由s＝t2t110tdt＝5t2|t2t1＝5(t－t)，得平均速度为＝＝5(t2＋t1)．
答案：5(t2＋t1)
8．有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t s末的流速为v(t)＝6t－t2(t的单位：s，v的单位：cm/s；0≤t≤6)，则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________cm3.
解析：由题意，可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4(6t－t2)dt＝4(6t－t2)dt＝40＝144(cm3)，故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144 cm3.
答案：144
三、解答题
9．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解：(1)因为y＝f(x)是二次函数，且f′(x)＝2x＋2，
所以设f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0有两个等根，
所以4－4c＝0，得c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为
(x2＋2x＋1)dx＝＝.
10．一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果25 N的力能使弹簧伸长2.5 cm，求把弹簧从平衡位置拉长8 cm(在弹性限度内)时拉力所做的功．
解：设拉力为F N，弹簧伸长的长度为x m，则F＝kx，其中k为比例系数．
由x＝0.025时，F＝25，得k＝1 000，所以F＝1 000x.
由变力做功公式，得W＝1 000xdx＝500x2＝3.2(J)．
故把弹簧从平衡位置拉长8 cm时拉力所做的功为3.2 J.
B级 能力提升
1．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析：v＝0时物体达到最高，
此时40－10t2＝0，则t＝2 s.
又因为v0＝40 m/s，所以t0＝0 s.
所以h＝(40－10t2)dt＝0＝(m)．
答案：A
2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为________．
解析：W＝F(x)cos 30°dx＝(5－x2)dx＝
＝＝(J)．
答案： J
3．如图所示，过点A(6，4)作曲线f(x)＝的切线l.
(1)求切线l的方程；
(2)求由切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.
解：(1)因为f(x)＝，
所以f′(x)＝ .
又点A(6，4)为切点，
因为f′(6)＝，
因此切线的方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.
(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2，0)．
在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，
所以 点B(－2，0)．故S＝dx－dx＝－2 －2＝.
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