1.3.1函数的单调性（教师版）

函数的单调性


__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；
掌握单调性的判断方法，并能简单应用；


一、函数单调性的定义
1、图形描述：
对于函数的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递减函数。
2、定量描述
对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
（1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数；
（2）若当时，都有,则说在区间D上是减函数。
3、单调性与单调区间
若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：
1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、用定义证明函数的单调性：
定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：
1、取量定大小：即设是区间上的任意两个实数，且<；
2、作差定符号：即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
3、判断定结论： 即根据定义得出结论。

三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论
1、函数与函数的单调性相反
2、当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反
3、在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。
四、复合函数单调性的判断
对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：
增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

以上规律还可总结为：“同增异减”。


类型一用定义证明函数的单调性
例1：证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．
解析：设x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)
＝2(x－x)＋4(x2－x1)
＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．
∵x1∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．
答案：见解析
练习1：证明函数f(x)＝－在定义域上是减函数
答案：设x1、x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－－(－)＝－
＝＝
∵x1－x2＝－Δx<0，＋>0，Δy<0.
∴f(x)＝－在[0，＋∞)上是减函数．
练习2： 设函数f(x)=,用单调性定义证明在（-1，+）上是减函数。
答案：设任意x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝

类型二 证明含参数的函数的单调性
例2：已知函数f(x)＝(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．
解析　任取x1、x2，使得－1则Δx＝x2－x1>0.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝，
∵－1∴x1x2＋1>0，x－1<0，x－1<0，
∴<0，
∴当a>0时，f(x2)－f(x1)<0，
故此时函数f(x)在(－1,1)上是减函数，
当a<0时，f(x2)－f(x1)>0，
故此时f(x)在(－1,1)上是增函数．
综上所述，当a>0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，
当a<0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
答案：增函数．
练习1：判断函数f(x)＝(a为常数且a≠0)在(0，＋∞)上的单调性．
答案：当a>0时， f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a<0时， f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
练习2：判断函数在上的单调性
答案：单调递减函数

类型三 证明抽象函数的单调性
例3：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0，
＋∞)上的单调性，并证明．
解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：
任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x1>0.
∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝－
＝，
又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x1)－f(x2)<0.
而f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0，
∴F(x2)－F(x1)<0，
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
答案：减函数
练习1：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝f ?(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明
答案：增函数
练习2： 函数f(x)＝x?＋2x＋3在[－1，＋∞)的单调性为____
答案：增函数。
类型四 求函数的单调区间
例4：求函数y＝x＋，x∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象．
解析：设x1、x2是任意两个不相等的正数，且x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)＝(x2－x1)＋＝(x2－x1).
由于00，x1x2>0，
当x1、x2∈(0,1]时，有x1x2－1<0，此时Δy<0；
当x1、x2∈(1，＋∞)时，有x1x2－1>0，此时Δy>0，
即函数y＝x＋，x∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)．
函数的大致图象如图所示．

答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。
练习1：求函数f(x)＝的单调区间．
答案：单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．

练习2：函数的单调递减区间是
答案： 和 。
类型五 利用单调性解不等式
例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解析：由题意可得
由①得0由②得0∴－由③得a2＋a－2<0，即(a－1)(a＋2)<0，
∴或，
∴－2∴a的取值范围是0答案：0
练习1：已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案： x的取值范围为.
练习2：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且a为实数，则有(　　)
A．f(a)C．f(a2＋1)答案：C，
类型六 用单调性求最值
例6: 求f(x)＝x＋的最小值．
解析：f(x)＝x＋的定义域为[1，＋∞)，
任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x10，
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)
＝(x2－x1)＋(－)
＝(x2－x1)＋
＝(x2－x1)·.
∵Δx＝x2－x1>0,1＋>0，
∴f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.
答案：1
练习1: 已知f(x)＝，x∈[2,6]，求函数f(x)的最大值和最小值．
答案：f(x)max＝f(2)＝1, f(x)min＝f(6)＝.
练习2: 函数在上的最大值与最小值分别为 。
答案:

1、证明函数是增函数。

答案：证明：设是R上的任意两个实数，且<


∵ ∴ ， 又∵,
∴即 ∴在上是增函数。

2、求函数的单调区间。
答案：和。

3、求函数的单调递增区间.
答案：

4、如果函数，对任意实数都有，比较的大小。

答案:
5、已知在上是减函数，求实数的取值范围。

答案：

_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固
1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝x0 D．y＝x2
答案：D
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有(　　)
A．a> B．a≤
C．a>－ D．a<
答案：A

3．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是(　　)
A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)0
答案：C
4． 函数f(x)＝－x2＋2ax＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
答案：D
5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上(　　)
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或是减函数 D．无法确定单调性
答案：D
6． 下列函数在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|　　　　　　 B．y＝3－2x
C．y＝ D．y＝x2－4x＋3
答案：A
∴函数y＝|x|在(0,1)上是增函数．
7． 函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是减函数时，b的取值范围是(　　)
A．b≤－2 B．b≥－2
C．b>－2 D．b<－2
答案：A

能力提升
8. 已知函数f(x)＝，证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．

答案: 设任意x1∈(1，＋∞)，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
∵x1又∵x1>1，x2>1，
∴2x1－1>0,2x2－1>0，
∴<0，
∴f(x2)故函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．

9. 求函数y＝－的最小值．
答案：-1
10. 已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时， f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

答案：(1)证明：设x1、x2是任意的两个实数，且x10，
∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，
又∵x2＝(x2－x1)＋x1，
∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)∴f(x)是R上的单调递减函数．
(2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.



7