2.1.2指数函数（教师版）

指数函数


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理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．
掌握指数函数的概念、图像和性质。


一、有理数指数幂及运算性质
1、有理数指数幂的分类
（1）正整数指数幂；（2）零指数幂；
（3）负整数指数幂
（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质
（1）（2）
（3）
二、根式
1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。
2、对于根式记号，要注意以下几点：
（1），且；（2）当是奇数，则；当是偶数，则；
（3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。
3、规定：
（1）；（2）

三、对指数函数定义的理解
一般地，函数叫做指数函数。
1、定义域是。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在的前提下，可以是任意实数。
2、规定,且的理由：
（1）若，
（2）若，如，当、等时，在实数范围内函数值不存在。
（3）若，，是一个常量，没有研究的必要性。
为了避免上述各种情况，所以规定,且。
3、式上的严格性：
指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1。自变量在指数的位置上。比如等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如，因为它可以化为，其中，且。
四、指数函数的图象和性质：

图象
性 质 定义域：
值域：
图像都过点
在上是增函数 在上是减函数

特别提醒：
角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：
在轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变
大。即不论在轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。
五、比较幂值得大小
底数相同：利用函数的单调性进行比较；
指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函
数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。
指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
六、指数方程的可解类型，可分为：
形如的方程，化为求解。
形如的方程，可令进行换元，转化成一元二次方程进行求解。
七、指数不等式的解法：
当时，与同解，当时，与同解。


类型一根式与分数指数幂的互化
例1：(1)用根式表示下列各式：a；a；；
(2)用分数指数幂表示下列各式：；；.
解析：(1)a＝；a＝；a－＝.
(2)＝a；＝a＝a2；＝＝a－.
答案：见解析
练习1：把根式化为分数指数幂的形式：＝__________.
答案：ab
练习2：用根式表示下列各式：x；x－
答案：x＝. x－＝.
类型二根式与分数指数幂的混合运算
例2：计算：
解析：原式＝
答案：38
练习1：化简：1.5×0＋80.25×＋(×)6－；
答案：110
练习2： 化简＋＝(　　)
A．－2π B．6 C．2π D．－6
答案：D
类型三指数函数的定义
例3：下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝10x；② y＝10x＋1；③ y＝10x＋1；④y＝2·10x；
⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；
⑦y＝x10.
解析：①y＝10x符合定义，是指数函数；
②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；
③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；
④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；
⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；
⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；
⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．
综上可知，①、⑥是指数函数．
答案:①、⑥
练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．
答案:4
练习2： 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
答案：C
类型四指数函数的图象和性质
例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0
解析：由图象呈下降趋势可知00，∴b<0.
答案：D
练习1：若函数y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则(　　)
A．a>1 B．a>1，且m<0 C．00 D．0答案：B
练习2： 在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　)
A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
答案:C
类型五指数函数性质的应用
例5:比较下列各组数的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.8－0.1,0.8－0.2；
(3)1.70.3,0.93.1；
解析：(1)考察指数函数y＝1.7x，
由于底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)考察函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，
所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.
(3)由指数函数的性质得
1．70.3>1.70＝1，　　　0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>0.93.1.
答案：< < >
练习1:比较下列各题中两个值的大小．
(1)0.3x与0.3x＋1；
(2)－2与2.
答案：> >
练习2: 函数f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)恒过定点________．
答案：(1,3)
类型六指数函数性质的综合应用
例6:函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．
解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为x＝1.
即＝1?b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.
∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．
若x≥0，则3x≥2x≥1，而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，
∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)，
若x<0，则0<3x<2x<1，而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，
∴f(3x)>f(2x)，即f(cx)>f(bx)，
综上所述，f(cx)≥f(bx)．
答案：f(cx)≥f(bx)．
练习1: 设，则f[f(－2)]＝________.
答案：
练习2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f()、f()、f()的大小关系为__________．
答案：f()＜f()＜f()

1、把下列各式中的写成分数指数幂的形式
（1）；（2）；
答案：（1）；（2）
2、计算（1）； （2）
答案：（1）；（2）
3、求下列各式的值
（1）；（2）；
答案：（1）；（2）
4、用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1） （2）
答案：（1）；（2）
5、若函数是一个指数函数，求实数的取值范围。
答案：
6、函数恒过定点____________。
答案：

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基础巩固
下列命题中正确命题的个数为(　　)
①＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③＝x＋y；④＝.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
2． 设a>0，将写成分数指数幂，其结果是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
计算：2－＋＋－＝____.
答案：2
4． 若a<，则化简的结果是(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案：A
5． 函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝(　　)
A． B．2
C．4 D．
答案:B



能力提升
6． 函数y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象必经过定点________．
答案：(－1,2)
7． 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则当x<0时，f(x)＝________.
答案：3－2－x

8. 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明．
答案：(1)函数f(x)的定义域为R.
又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，
即k－1＝0，∴k＝1.
(2)当a>1时，函数f(x)是R上的增函数．
由(1)知f(x)＝ax－a－x.
设任意实数x1f(x2)－f(x1)＝ax2－a－x2－a x1＋a-x1
＝ax2－a x1＋－
＝a x2－a x1＋
＝(a x2－a x1)
∵x11，∴a x10.
又1＋>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
故当a>1时，函数f(x)在R上是增函数．

9.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的范围．
答案：(1)∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵x10，
又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0，f(x1)－f(x2)>0.
∴f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)由于f(x)为减函数，∴t2－2t>k－2t2.
即k<3t2－2t恒成立，
而3t2－2t＝3(t－)2－≥－，
∴k<－.



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