2.2.1.对数与对数运算（教师版）

对数与对数运算


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理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；
掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.



一、对数的定义
一般地，如果 的次幂等于, 就是 ，那么数 叫做 以为底 的对数，记作 ，叫做对数的底数，叫做真数。
特别提醒：
1、对数记号只有在，时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①；②。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, 的常用对数， 简记作：。 例如：简记作 简记作。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。 如：简记作；简记作。

二、对数运算性质：
如果 有：


特别提醒：
1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。
2、注意上述公式的逆向运用：如；





三、对数的换底公式及推论：
对数换底公式：
两个常用的推论:
（1） （2）

四、两个常用的恒等式：
，


类型一 指数式与对数式的相互转化
例1：将下列指数式与对数式进行互化．
(1)3x＝； (2)x＝64；
(3)5－＝； (4)＝4；
(5)lg0.001＝－3; (6)＝－1.
解析：(1)log3＝x.
(2) 64＝x.
(3)log5＝－.
(4)()4＝4.
(5)10－3＝0.001.
(6)(－1)－1＝＋1.
答案：见解析
练习1：将下列指数式与对数式进行互化．
(1)e0＝1；
(2)(2＋)－1＝2－；
(3)log327＝3；
(4)log0.10.001＝3.
答案：(1)ln1＝0.(2) ＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.
练习2：将下列对数式与指数式进行互化．
(1)2－4＝；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.
答案：(1)log2＝－4. (2)log5125＝3. (3)102＝a. (4)25＝32.

类型二 对数基本性质的应用
例2：求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lgx)＝1；
解析：(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝1，∴x＝5.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1 000.
答案：（1）x＝5.（2） x＝1 000.
练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．
答案：80
练习2： 已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______. 　
答案：
类型三 对数的运算法则
例3：计算(1)loga2＋loga(a>0且a≠1)；
(2)log318－log32；
(3)2log510＋log50.25；
解析：(1)loga2＋loga＝loga(2×)＝loga1＝0.
(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2.
(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25
＝log5(100×0.25)＝log525＝2.
答案: （1）0（2）2（3）2
练习1： 计算log535＋2log2－log5－log514的值．
答案:4
练习2： 计算：2log510＋log50.25的值为________．
答案：2
类型四 带有附加条件的对数式的运算
例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lg.
解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3b.
lg＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2.
答案：3a＋2b－2.

练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg.
答案：0.8266
练习2：若lgx－lgy＝a，则lg()3－lg()3等于(　　)
A． B．a C． D．3a
答案:D
类型五 应用换底公式求值
例5: 计算：lg－lg＋lg12.5－log89·log278.
解析：lg－lg＋lg12.5－log89·log278
＝lg－lg＋lg－·
＝lg－＝1－＝.
答案：
练习1: 计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
答案：13
练习2:log89·log32的值为(　　)
A． B．1 C． D．2
答案：A
类型六 应用换底公式化简
例6: 已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.
解析：∵log89＝＝＝a，①
又∵log25＝＝＝b，②
由①②消去lg2可得：lg3＝.
答案：lg3＝.
练习1: 已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝(　　)
A． B． C． D．
答案：A
练习2: 已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为(　　)
A．pq B． C． D．
答案：B

1、使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A．0＜a＜且a≠1 B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1 D．a＜
答案：　B
2、 已知x、y为正实数，则下列各式正确的是(　　)
A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
答案：A
3、 若lg2＝a，lg3＝b，则等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
4、．log52·log425等于(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
答案：C
5、化简logb－loga的值为(　　)
A．0 B．1
C．2logab D．－2logab
答案:A

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基础巩固
1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
2．若f(10x)＝x，则f(3)的值为(　　)
A．log310 B．lg3
C．103 D．310
答案：B
3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么(　　)
A．x＝a＋3b－c B．x＝
C．x＝ D．x＝a＋b3－c3
答案：C
4．方程2log3x＝的解是(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．9
答案：C
5．eln3－e－ln2等于(　　)
A．1 B．2
C． D．3
答案: C

能力提升
6．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案：-3
7．若logx(2＋)＝－1，则x＝________.
答案：2－
8．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.
答案：2＋a

9. (1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)设x＝log23，求的值．
答案：(1)12. (2).
10. 已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．
(1)若设x＝at，试用a、t表示y；
(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．
答案：(1)y＝at2－3t＋3(t≠0)．
(2)a＝16，x＝64.



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