2.3幂函数（教师版）

幂函数


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1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y = x ，y =， y =， y =，的图像，了解它们的变化情况.
2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解.



一、定义：
一般地，我们把形如的函数叫做幂函数，其中为常数。
特别提醒：
幂函数的基本形式是 y = ，其中x是自变量，a 是常数. 要求掌握 y =x，y=，y=，y=，y= 这五个常用幂函数的图象.
二、幂函数性质：
1、所有的幂函数在都有定义，并且图像都通过点；
2、如果，则幂函数的图像经过原点，并且在区间上为增函数；如果，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间上为增函数
3、幂函数的图像及其奇偶性：
令（、互质）
（、互质） 、是奇数
是奇数、是偶数
是偶数、是奇数



特别提醒：
（1）当a > 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,) 上是增函数.（2）当a < 0 时，图象过定点(1,1)；在(0,)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.

三、如图的大小关系为：












类型一 幂函数的定义

例1：在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：显然，根据幂函数定义可知，只有y＝＝x－2是幂函数．
答案：B
练习1：有下列函数：
①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－；④y＝；⑤y＝；⑥y＝2x.
其中，是幂函数的有________(只填序号)．
答案：④⑤
练习2：函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是(　　)
A．k＝3 B．k＝－2
C．k＝3或k＝－2 D．k≠3且k≠－2
答案: C
类型二 幂函数的图象和性质
例2：幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m、n、p、q的大小关系用“<”连接起来结果是________．








解析：过原点的指数α>0，不过原点的α<0，
∴n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，
∴p>1,0x>1时，指数越大，图象越高，∴m>q，
综上所述n 答案：n
练习1： 已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k－α＝(　　)
A． B．1
C． D．2
答案：C
练习2： 已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝(　　)
A．1 B．－1
C．6 D．－1或6
答案：B
类型三 函数值大小的比较

例3：比较下列各组数的大小

解析：(1)考察幂函数y＝x1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数，
∵a＋1>a，∴(a＋1)1.5>a1.5.
(2)考察幂函数y＝，在区间[0，＋∞)上是单调减函数．
∵2＋a2≥2，∴≤.
答案:(1) (a＋1)1.5>a1.5.（2）≤.

练习1：下列关系中正确的是(　　)
A．()<()<() B．()<()<()
C．()<()<() D．()<()<()
答案: D
练习2：比较下列三个值的大小
，，；
答案：>>

1、如图曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为(　　)

A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
答案：B
2、下列命题中正确的是(　　)
A．幂函数的图象不经过点(－1,1)
B．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)
C．若幂函数f(x)＝xa是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案：D
3、函数y＝|的图象大致为(　　)

答案：C
4、设函数y＝ax－2－(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在幂函数y＝xα的图象上，则该幂函数的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案：C
5、若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则m的值为________．
答案: -1
6、 已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,8)，则f(x)＝______________.
答案: x3

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基础巩固
1．如图所示为幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＜1 D．n＜－1，m＞1
答案：B

2．函数y＝x3与函数y＝x的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
答案：D
3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是(　　)
A．x>22% B．x<22%
C．x＝22% D．x的大小由第一年产量确定
答案：B
4．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过(　　)
A．12h　　 B．4h　　
C．3h　　 D．2h
答案：C
5．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可以增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

答案: D
能力提升
6．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则m是__________．
答案：1或2
7．如果幂函数y＝xa的图象，当0答案：a<1
8. 已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
答案：(1)m＝1.(2)m＝－1.(3)m＝.(4)m＝－1±.

9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．
答案：1.

10. 已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值。
答案：－1,3或1.

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