3.1函数与方程（教师版）

函数与方程


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掌握函数的零点和二分法的定义．
会用二分法求函数零点的近似值。


一、函数的零点：
定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零即，则叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：
函数零点个数的确定方法：
1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；
2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；
3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间上是连续不间断的，且f(a)f（b）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：
定义：对于区间上连续的，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：
用二分法求函数零点的近似值
第一步：确定区间，验证：f(a)f（b）＜0，给定精确度；
第二步：求区间得中点；
第三步：计算；若=0，则就是函数零点；若f(a)f（）＜0，则令；若f()f（b）＜0，则令
第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值，否则重复第二、
三、四步。

类型一求函数的零点
例1：求函数y＝x－1的零点：
解析：令y＝x－1＝0，得x＝1，
∴函数y＝x－1的零点是1.
答案：1
练习1：求函数y＝x3－x2－4x＋4的零点．
答案：－2,1,2.
练习2：函数f(x)＝2x＋7的零点为(　　)
A．7 B． C．－ D．－7
答案：C
类型二 零点个数的判断
例2：判断函数f(x)＝x2－7x＋12的零点个数
解析：由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0得
Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，
∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.
答案：2个
练习1：二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定
答案：B
练习2：已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>－9且a≠0 B．a>－9
C．a<－9 D．a>0或a<0
答案：A
类型三 函数零点的应用
例3：若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．
解析：设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图象开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，

由，
解得，∴实数k的取值范围是.
答案：.
练习1：已知方程x2＋2px＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值范围为__________．
答案：(－∞，－1)
练习2：函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．
答案：
类型四 二分法的概念
例4：函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(　　)．

解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．
答案：B
练习1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上(　　)
A．只有一个变号零点
B．有一个不变号零点
C．至少有一个变号零点
D．不一定有零点
答案：C
练习2：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案：B
类型五 用二分法求函数零点的近似值
例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．
解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：

端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间
a0＝1，b0＝2 f(1)＝－6，f(2)＝4 [1,2]
x1＝＝1.5 f(x1)＝－2.625<0 [1.5,2]
x2＝＝1.75 f(x2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75]
x3＝＝1.625 f(x3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75]
x4＝＝1.6875 f(x4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75]
x5＝＝1.718 75 f(x5)≈－0.171<0 [1.718 75,1.75]
x6＝＝1.734 375 f(x6)≈0.03>0 [1.718 75, 1.734 375]

因此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数精确到0.1的实数解．
答案：1.7
练习1: 试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．
答案：－0.7.
练习2: 用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间(　　)
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)
答案：B

1、 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
答案：　D
2、已知x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是(　　)
A．－1或1 B．0或－1
C．1或0 D．2或1
答案:　C
3、三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案:　C
4、若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为(　　)
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
答案:　C
5、已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88

则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案：　B

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基础巩固
1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)
A．一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
答案：　B
2．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx2＋bx＋a的零点为(　　)
A．1,2 B．－1，－2
C．1， D．－1，－
答案：　C
3．若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案：　A
4．下列命题中正确的是(　　)
A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1
C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数
D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的
答案：　A
5．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算， f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
答案：　C

能力提升
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6

答案：　(－∞，－2)∪(3，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．
答案：9
8．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．
①函数图象通过零点时，函数值一定变号；
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．
答案：②③
9. 设函数f(x)＝，
若f(－4)＝2,f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
答案：3
10. 已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
答案：（1）1（2）若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝>0, f(0)＝>0, f(1)＝－<0，
∴函数零点在(0,1)，又f()＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.



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