3.2.1.一次函数与二次函数（教师版）

一次函数与二次函数


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掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征．
运用一次函数与二次函数的性质解决有关问题。


一次函数
函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R
一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；
一次函数中，叫直线的斜率，叫直线在轴上的截距； 时，
函数是增函数，时，函数是减函数；
时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；时，它既不是奇函数，也不
是偶函数；
二次函数
函数叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；
1、当0时，该函数为偶函数，其图象关于轴对称；
2、当时，抛物线开口向上，二次函数的单调减区间为，单调增区间为，值域为；
3、当时，抛物线开口向下，二次函数的单调增区间为，单调减区间为，值域为；
特别提醒：
1.二次函数的三种表示形式
（1）一般式：．
（2）顶点式：，其中 为抛物线的顶点坐标．
（3）两根式：，其中、是抛物线与x轴交点的横坐标．
2.利用配方法求二次函数的对称轴方程为：
＝－．
3.若二次函数对应方程＝0的两根为、，那么函数图象的对称轴方程为：
＝＝－．
4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．

类型一 一次函数的性质
例1：已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，求当m为何值时：
(1)这个函数为正比例函数？
(2)这个函数为奇函数？
(3)函数值y随x的增大而减小？
解析：(1)由题意，得，
解得.
∴m＝.
(2)∵函数为奇函数，
∴　∴m＝.
(3)由题意，得2m－1<0，∴m<.
答案：（1）m＝. （2）m＝. (3) m<.
练习1：已知一次函数y＝2x＋1，
(1)当y≤3时，求x的范围；
(2)当y∈[－3,3]时，求x的范围；
(3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
答案：(1)x≤1. (2)－2≤x≤1 (3)S＝××1＝.
练习2：求直线y＝－3x＋1和直线y＝2x＋6以及x轴围成的三角形的面积．
答案：
类型二 求一次函数的解析式
例2：已知一次函数的图象经过点A(1,1)、B(－2,7)，求这个一次函数的解析式．
解析：设y关于x的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，把A(1,1)、B(－2,7)的坐标分别代入y＝ax＋b，
得 ，解得.
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋3.
答案：y＝－2x＋3.
练习1：已知函数f(x)为一次函数，其图象如图，求f(x)的解析式．

答案：f(x)＝－1.5x＋1.5.
练习2：已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(，0)，且与坐标轴围成的三角形面积为，求该一次函数的解析式．
答案：y＝2x－5或y＝－2x＋5.
类型三 二次函数的值域问题
例3： 已知函数f(x)＝x2＋x－2，则函数f(x)
在区间[－1,1)上(　　)
A．最大值为0，最小值为－
B．最大值为0，最小值为－2
C．最大值为0，无最小值
D．无最大值，最小值为－
解析：f(x)＝x2＋x－2＝(x＋)2－，
∴当x＝－∈[－1,1)时，f(x)min＝－，
∵f(1)>f(－1)，又x≠1，
∴函数f(x)无最大值，故选D．
答案：D
练习1： 已知函数f(x)＝x2＋2x＋4，x∈[－2,2]，则f(x)的值域是________．
答案：[3,12]
练习2： 函数y＝x2－6x＋7的值域是(　　)
A．{y|y<－2} B．{y|y>－2}
C．{y|y≥－2} D．{y|y≤－2}
答案：C
类型四 含参数的二次函数在闭区间上最值的讨论
例4：求f(x)＝x2－2ax－1在[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)的表达式．
解析：f(x)＝(x－a)2－a2－1，x∈[0,2]，
顶点是(a，－a2－1)，二次项系数为正，图象开口向上，对称轴x＝a.由f(x)在顶点左边(即x≤a)单调递减，在顶点右边(即x≥a)单调递增，所以f(x)图象的对称轴x＝a与闭区间[0,2]的位置关系(求两种最值)分4种情况求解．如图①～④中抛物线的实线部分．

在图①中，当a<0时，f(x)在[0,2]上单调递增，所以M(a)＝f(2)＝－4a＋3，m(a)＝f(0)＝－1.
在图②中，当0≤a<2，且f(0)≤f(2)，
即0≤a≤1时，f(x)在[a,2]上单调递增，
所以M(a)＝f(2)＝－4a＋3，
m(a)＝f(a)＝－a2－1.
在图③中，，即1f(x)在[0，a]上单调递减，最大值M(a)＝f(0)＝－1，最小值m(a)＝f(a)＝－a2－1.
在图④中，当a>2时，f(x)在[0,2]上单调递减，所以M(a)＝f(0)＝－1，m(a)＝f(2)＝－4a＋3.
综上可知，f(x)在[0,2]上的最大值与最小值分别为
M(a)＝，
m(a)＝.
答案：M(a)＝，
m(a)＝
练习1：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．
答案：a＝－1，或a＝2
练习2：若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.
答案：6

1、一次函数y＝kx(k≠0)的图象上有一点坐标为(m，n)，当m>0，n<0时，则直线经过(　　)
A．第二、四象限　　　　 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第一、四象限
答案：A
2、已知一次函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m的值为(　　)
A．－4 B．2
C．1 D．2或1
答案:C
3、 函数f(x)＝－x2＋4x＋5(0≤x<5)的值域为(　　)
A．(0,5] B．[0,5]
C．[5,9] D．(0,9]
答案：D
4、若函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(1,3)
C．[1,3] D．[0,4]
答案:C
5、已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)的值为(　　)
A．正数 B．负数
C．零 D．符号与a有关
答案：A

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基础巩固
1．若函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，则m与n的取值是(　　)
A．m>，n>－ B．m>3，n>－3
C．m<，n<－ D．m>，n<
答案：　A
2．如果ab>0，bc<0，那么一次函数ax＋by＋c＝0的图象的大致形状是(　　)

答案：　A
3． 已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝2，则(　　)
A．f(0)C．f(3)答案：　D
4． 函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
答案：　D
5．已知二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于(　　)
A．0 B．3
C．6 D．不确定
答案：　C

能力提升
6．一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是____________．
答案：(2，)
7．若函数y＝(2m－9)·xm2－9m＋15是正比例函数，其图象经过第二、四象限，则m＝______.
答案：2
8．若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是________．
答案： [，3]
9. 已知函数f(x)＝(x－1)2＋n的定义域和值域都是区间[1，m]，求m、n的值．
答案：
10. 已知函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[t，t＋2]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
答案：g(t)＝.


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