第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．下列变量中不是随机变量的是( )
A．某人投篮6次投中的次数
B．某日上证收盘指数
C．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾
D．某人早晨在车站等出租车的时间
解析：由随机变量的概念可知．标准状态下，水在100℃时会沸腾不是随机变量．
答案：C
2．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( )
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色的种数
解析：A.小球滚出的最大距离不是一个离散型随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个离散型随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量了；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．
答案：D
3．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
解析：由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.
答案：B
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10 C．7 D．6
解析：X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8，4＋5＝9，共7个．
答案：C
5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”的事件为( )
A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4
解析：第一次取到黑球，则放回1个红球，第二次取到黑球，则放回2个红球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
答案：C
二、填空题
6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．
①某宾馆每天入住的旅客数量X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
答案：②
7．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定，每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．
解析：若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.故答案为－300，－100，100，300.
答案：－300，－100，100，300
8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为ξ，则{ξ＜2}表示的试验结果是______________．
解析：应分ξ＝0和ξ＝1两类．ξ＝0表示取到3件正品；ξ＝1表示取到1件次品、2件正品．故{ξ＜2}表示的试验结果为取到1件次品，2件正品或取到3件正品．
答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品
三、解答题
9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
解：(1)
ξ
0
1
2
3
结果
3个
黑球
1个白球、
2个黑球
2个白球、
1个黑球
3个白球
(2)由题意得η＝5ξ＋6，且ξ∈{0，1，2，3}，
因此η的取值为{6，11，16，21}，
显然η为离散型随机变量．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
B级 能力提升
1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是________．
解析：当ξ＝5时，表示此人前4次未击中目标并进行了第5次的射击．
答案：前四次未击中目标
2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．
解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局的球队，第6局一定获胜，共有C·C＝20(种)．
答案：20
3．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
解：因为x，y可能取的值为1，2，3，
所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，
用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，
第二次抽到卡片号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．
ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．ξ＝2表示(1，2)，(3，2)．
ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．
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