第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.2 离散型随机变量的分布列
第1课时 离散型随机变量的分布列
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量X的分布列如表所示(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果正确的是( )
A．P(X<2)＝0.7 B．P(X≥2)＝0.6
C．P(X≥3)＝0.3 D．P(X≤1)＝0.2
解析：由分布列性质，易知a＝0.1，
所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3.
答案：C
2．若随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
解析：由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X答案：C
3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)等于( )
A. B. C. D.
解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案：A
4．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点时ξ取值的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由题意知解得b＝.
因为f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，所以Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.
答案：B
5．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
解析：因为＋＋＝1，所以a＝3，
P(X＝2)＝＝.
答案：C
二、填空题
6．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
若η＝ξ2，若P(η＝4)＝________．
解析：由η＝ξ2，且η＝4，得ξ2＝4，
所以ξ＝±2，
所以P(η＝4)＝P(ξ＝－2)＋P(ξ＝2)＝＋＝.
答案：
7．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________．
解析：依题意有P(ξ＞8)＝×8＝.
答案：
8．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________．
解析：设10个球中有白球m个，则＝1－，
解得m＝5.
P(X＝2)＝＝.
答案：
三、解答题
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
解： X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝＝.
所以变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
7
P
10.抛掷一颗正方体骰子，用随机变量ξ表示出现的点数，求：
(1)ξ的分布列；
(2)P(ξ>4)及P(2≤ξ<5)．
解：(1)ξ所有可能的取值为1，2，3，4，5，6.因为骰子是均匀的，所以出现每一点数的概率均为，
故ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P
(2)P(ξ>4)＝P(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＝.
P(2≤ξ<5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＋＝.
B级 能力提升
1．若随机变量X的分布列如表所示，则a2＋b2的最小值为( )
X＝i
0
1
2
3
P(X＝i)
a
b
A. B. C. D.
解析：由分布列的性质，知a＋b＝，
则a2＋b2≥＝(仅当a＝b＝时等号成立)．
答案：C
2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
3．将3个小球任意放入4个大的玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为X，求X的分布列．
解：依题意可知，杯子中球的最多个数X的所有可能值为1，2，3.当X＝1时，对应于4个杯子中恰有3个杯子各放一个球的情形；当X＝2时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放两个球的情形；当X＝3时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放三个球的情形．
所以当X＝1时，P(X)＝＝；当X＝2时，P(X)＝＝；当X＝3时，P(X)＝＝.
可得X的分布列为：
X
1
2
3
P
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