第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝x0＜x＜12，B＝x14＜x＜34，则P(B|A)等于( )
A.12 B.14 C.13 D.34
解析：P(A)＝121＝12.
因为A∩B＝x14＜x＜12，
所以P(AB)＝141＝14，
所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1412＝12.
答案：A
2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )
A.110 B.210 C.810 D.910
解析：记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，
则P(A)＝910，P(B|A)＝19，
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝110.
答案：A
3．袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A为“三次抽到的号码之和为6”，事件B为“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)＝( )
A.17 B.27 C.16 D.727
解析：因为P(A)＝A33＋133，P(AB)＝133，
所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝17.
答案：A
4．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是( )
A.34 B.23
C.12 D.13
解析：记事件A：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝34；记事件B：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝12.因为B?A，所以P(AB)＝P(B)＝12，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝12÷34＝23.
答案：B
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8
C．0.86 D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
二、填空题
6．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．
解析：设事件A表示“任选一名同学是男生”；事件B为“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．
依题意得P(A)＝4060＝23，P(AB)＝560＝112.
故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝11223＝18.
答案：18
7．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________．
解析：因为P(A|B)＝P（AB）P（B），
所以P(AB)＝0.3，
所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.30.4＝0.75.
答案：0.75
8．分别用集合M＝{2，4，5，6，7，8，11，12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是________．
解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，
则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝n（AB）n（A）＝47.
答案：47
三、解答题
9．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝C25C36＝1020＝12，P(AB)＝C14C36＝15，
所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝25.
10．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.
(1)求白球的个数；
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球有x个．
则P(A)＝1－C210－xC210＝79，解得x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(BC)＝C15?C15C110?C19＝2590＝518，
P(B)＝C15?C15＋C15?C14C110?C19＝25＋2090＝12.
故P(C|B)＝P（BC）P（B）＝51812＝59.
B级 能力提升
1．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A.119 B.1738 C.419 D.217
解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，所以所求概率为P(A|B)．
而P(AB)＝C25C220，P(B)＝C25＋C15C115C220.
所以P(A|B)＝P（AB）P（B）＝217.
答案：D
2．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，
则P(AB)＝C12?C14C16?C15＝415，P(A)＝C14?C13＋C12C14C16?C15＝23.
所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝415×32＝25.
答案：25
3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A26＝30，
根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，
于是P(A)＝n（A）n（Ω）＝2030＝23.
(2)因为n(AB)＝A24＝12，
于是P(AB)＝n（AB）n（Ω）＝1230＝25.
(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝P（AB）P（A）＝25÷23＝35.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝n（AB）n（A）＝1220＝35.
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