第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用
2.2.2 事件的相互独立性
A级 基础巩固
一、选择题
1．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.
答案：B
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－b B．1－ab
C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．
答案：C
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
甲 乙
A. B. C. D.
解析：满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
所以所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝×＋×＋×＝.
答案：C
4．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是( )
A. B. C. D.
解析：法一 考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则至少1人去此地的概率为P＝P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)＝×＋×＋×＝.
法二 考查对立事件：P＝1－P()P()＝1－×＝.
答案：C
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B. C. D.
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件BC＋AC＋AB的发生，
故概率P＝××＋××＋××＝.
答案：D
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
答案：
7．已知A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(AB)＝________．
解析：依题意得解得P(A)＝，P(B)＝.
所以P(B)＝×＝.
答案：
8．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.
在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.
答案：
三、解答题
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P()[1－P(CD)]＝P()P()[1－P(CD)]＝××＝.
所以灯亮的概率为1－＝.
10．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.
(2)三个项目全部失败的概率为
××＝，
所以至少有一个项目成功的概率为1－＝.
B级 能力提升
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
2．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．
解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥，
又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
答案：
3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
解：(1)由题意，得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
(2)由题意可得ξ的可能取值为0，2，4，6，8.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＝.
则所求ξ的分布列为：
ξ
0
2
4
6
8
P
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