第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
解析：因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.
答案：A
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A. B. C. D.
解析：事件A在一次试验中发生的概率为p，
由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝.
答案：A
3．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次后停止取球，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝( )
A. B. C. D.
解析：X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．
则P(X＝5)＝C××＝.
答案：D
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A. B. C. D.
解析：当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C××＝3×××＝，故选A.
答案：A
5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：由1－C>0.9，得<0.1，所以n≥4，所以n的最小值为4.
答案：B
二、填空题
6．下列说法正确的是________．
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，即前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
7．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是________．
解析：由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4.
答案：[0.4，1]
8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×＝.
答案：
三、解答题
9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中．
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝C·C＝×＝＝.
10. 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．
解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.
故P(X＝k)＝C＝C，k＝0，1，2，…，6.
因此所求X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
B级 能力提升
1．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上和向右的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是( )
A. B．C
C．C D．CC
解析：点P移动5次后位于点(2，3)，需在5次移动中，向右2次，向上3次．
所以P＝C＝C.故选B.
答案：B
2．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
解析：设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.
答案：
3．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．
解：(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0，1，2，3)，则P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
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