第二章 随机变量及其分布
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
A级 基础巩固
一、选择题
1．现有一个项目，对该项目投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为( )
A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38
解析：因为X的所有可能取值为1.2，1.18，1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的概率分布列为：
X
1.2
1.18
1.17
P
则E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
答案：A
2．随机变量X的分布列为：( )
X
1
2
3
P
0.2
0.5
m
则X的均值是( )
A．2 B．2.1
C．2.3 D．随m的变化而变化
解析：因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，
所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.
答案：B
3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20 B．25 C．30 D．40
解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25.
答案：B
4．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
解析：因为ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
答案：C
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A. B. C．2 D.
解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
二、填空题
6．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数为X，则E(2X＋1)等于________．
解析：由题可知，X服从二项分布，即X～B，
所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.
答案：
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：
答案：0.4
8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．
解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.
答案：
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值；
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．
解：(1)ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，
则a×＋4＝1，所以a＝－2.
B级 能力提升
1．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于( )
A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22
解析：P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：B
2．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取出一个黑球得0分，取出一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________．
解析：由题意得ξ的所有可能取值为0，2，其中ξ＝0表示取出的球为两个黑球，ξ＝2表示取出的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
2
P
故E(ξ)＝0×＋2×＝1.
答案：1
3．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以，随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
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