第二章 随机变量及其分布
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.2 离散型随机变量的方差
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C·，k＝0，1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( )
A．8 B．12 C. D．16
解析：由题意可知ξ～B，
所以n＝E(ξ)＝24.
所以n＝36.
所以D(ξ)＝n××＝×36＝8.
答案：A
2．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X，则D(X)等于( )
A. B. C. D.
解析：X取0，1，2，P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，所以E(X)＝，D(X)＝.
答案：A
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( )
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．
答案：B
4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，
D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.
因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.
答案：B
5．已知p，q∈R，X～B(5，p)．若E(X)＝2，则D(2X＋q)的值为( )
A．2.4 B．4.8 C．2.4＋q D．4.8＋q
解析：因为X～B(5，p)，
所以E(X)＝5p＝2，所以p＝，
D(X)＝5××＝，
所以D(2X＋q)＝4D(X)＝4×＝4.8，故选B.
答案：B
二、填空题
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7．已知某随机变量X的分布列如表(p，q∈R)所示：
X
1
－1
P
p
q
且X的数学期望E(X)＝，那么X的方差D(X)＝________．
解析：根据题意可得解得p＝，q＝，
故X的方差D(X)＝×＋×＝.
答案：
8．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．
解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
答案：
三、解答题
9．袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
解：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为：
X
5
4
3
P
E(X)＝5×＋4×＋3×＝4，
D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.
10．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合．
(1)求巧合数ξ的分布列．
(2)求巧合数ξ的期望与方差．
解：(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝5)＝，
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
5
P
(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1，
D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1.
[B级 能力提升]
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
解析：随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
1－m
m
所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
答案：D
2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.
答案：
3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X)．
解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
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