第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.
由P(X>1)＝0.5，可知μ＝a＝1.
答案：A
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P(ξ＜4)＝0.8，知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.
答案：C
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%.
答案：B
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(0≤X≤2)＝( )
A．0.64 B．0.16 C．0.32 D．0.34
解析：因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，μ＝2，
所以对称轴是x＝2，P(X≤4)＝0.84，
所以P(X>4)＝P(X<0)＝0.16，
所以P(0≤X≤2)＝0.5－0.16＝0.34.
答案：D
5．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.
答案：A
二、填空题
6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
7．某地区成年男性的身高X(cm)近似服从N(175，36)，则该地区成年男性的身高不在(157，193)内的人数约占________．
解析：因为X～N(175，36)，所以μ＝175，σ＝6.
所以P(175－3×6所以该地区成年男性的身高不在(157，193)内的人数约占1－99.7%＝0.3%.
答案：0.3%
8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，
又P(ξ≥10)＝0.5，
所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
三、解答题
9．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.
又P(72结合P(μ－σ(2)因为P(μ－2σ又因为P(X≤64)＝P(X>96)，
所以P(X≤64)＝(1－0.954 4)＝×0.045 6＝0.022 8.
由μ＝80，知P(X≤80)＝0.5，
所以P(6410.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比．
解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，
结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式
P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7 500<ξ≤8 500)
＝P(8 000－500<ξ≤8 000＋500)
＝0.682 6.
所以P(8 000<ξ≤8 500)＝P(7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3，
即农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.
B级 能力提升
1．正态分布N(1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m，n，则( )
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定
解析：正态分布N(1，9)的曲线关于x＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m＝n.
答案：C
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.954 4，P(X＞80)＝(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
3．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(3，22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？
解：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N(8，32)，则μ＝8，σ＝3.于是P(8－3<ξ≤8＋3)＝P(5<ξ≤11)≈0.682 6.
所以P(ξ≤5)＝[1－P(5<ξ≤11)]≈(1－0.682 6)＝0.158 7.
所以P(ξ>5)≈1－0.158 7＝0.841 3.
对于第二套方案ξ～N(3.22)，
则μ＝3，σ＝2.
于是P(3－2<ξ≤3＋2)＝P(1<ξ≤5)≈0.682 6，
所以P(ξ>5)＝[1－P(1<ξ≤5)]≈(1－0.682 6)＝0.158 7.
所以应选择第一套方案．
课件32张PPT。第二章 随机变量及其分布
