第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
第1课时 线性回归模型
A级 基础巩固
一、选择题
1．散点图在回归分析过程中的作用是( )
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否线性相关
解析：散点图在回归分析过程中的作用是粗略判断变量是否线性相关．
答案：D
2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
解析：因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.
答案：A
3．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是( )
A. B. C. D.
解析：因为x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝3，所以＝，＝，
所以样本点的中心坐标为，
代入回归直线方程得＝×＋，解得＝.
答案：C
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心，，B正确；依据回归方程中y的含义可知，x每变化1个单位，y相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D错误．
答案：D
5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x/万元
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y/万元
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－，.
据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：由已知得 ＝＝10(万元)，
＝＝8(万元)，
故＝8－0.76×10＝0.4.
所以回归直线方程为＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭年支出为＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭支出为＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：B
二、填空题
6．某市居民2014—2018年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
收入x
11.5
12.1
13
13.5
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________(填“正”或“负”)线性相关关系．
解析：把2014—2018年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5，12.1，13，13.5，15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
答案：13 正
7．已知x，y的取值如表所示：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则的值等于________．
解析：＝(0＋1＋3＋4)＝2，＝＝4.5，而回归直线方程过样本点的中心(2，4.5)，
所以＝－0.95＝4.5－0.95×2＝2.6.
答案：2.6
8．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则＝________．
解析：＝＝9，因为回归直线方程过点(，)，所以＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.
答案：58.5
三、解答题
9．假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下表：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)求，.
(2)x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程．
解：(1)由统计图表知＝4，＝5.
10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归方程．
解：(1)＝＝6，
＝＝.
(2)因为y与x有线性相关关系，
＝－6×4.75＝≈51.36.
故回归方程为＝4.75x＋51.36.
B级 能力提升
1．某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为( )
A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25
C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25
解析：由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.
考试次数的平均数为x＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，
所减分数的平均数为y＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，
即直线应该过点(2.5，3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.
答案：D
2．已知x，y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝________．
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
解析：由表格得＝(0＋1＋3＋4)＝2，＝(2.2＋4.3＋4.8＋6.7)＝4.5，
因为线性回归直线过样本点的中心(2，4.5)，
所以4.5＝0.95×2＋，所以＝2.6.
答案：2.6
3．某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位：千万吨)与资金投入量x(单位：千万元)有如下统计数据：
分类
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
资金投入量x/
千万元
1.5
1.4
1.9
1.6
2.1
垃圾处理量y/
千万吨
7.4
7.0
9.2
7.9
10.0
(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0 千万吨的概率；
(2)由表中数据求得线性回归方程为＝4x＋，该垃圾处理厂计划2017年的垃圾处理量不低于9.0千万吨，现由垃圾处理厂决策部门获悉2017年的资金投入量约为1.8千万元，请你预测2017年能否完成垃圾处理任务，若不能，缺口约为多少千万吨？
解：(1)从统计的5年垃圾处理量中任取2年的基本事件共10个：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的基本事件有6个：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)．
所以，这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的概率为P＝＝.
(2)＝＝1.7，
＝＝8.3，
因为直线＝4x＋过样本中心点(，)，
所以8.3＝4×1.7＋，解得＝1.5.
所以＝4x＋1.5.
当x＝1.8时，＝4×1.8＋1.5＝8.7＜9.0，
所以不能完成垃圾处理任务，缺口约为0.3千万吨．
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