第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
第2课时 线性回归分析
A级 基础巩固
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：
分类
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．
答案：D
2．已知回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是( )
A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04
解析：因为残差i＝yi－i，所以残差的平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.
答案：C
3．若某地财政收入x与支出y满足线性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．10亿元 B．9亿元 C．10.5亿元 D．9.5亿元
解析：x＝10时，＝0.8×10＋2＝10.
因为|e|<0.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．
答案：C
4．下列说法中正确的是( )
①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；
②回归直线＝x＋一定经过样本点的中心(x，y)；
③随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小用来衡量预报的精确度；
④相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
解析：①线性相关关系r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r|越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r|越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线＝x＋一定通过样本点的中心(x，y)，②正确；③随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0，③正确；④用相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，④错误．
答案：D
5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
答案：B
二、填空题
6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．
解析：由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，
答案：1
7．根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，若＝5.4，则x每增加1个单位，估计y________个单位．
x
3
4
5
6
7
y
4
2.5
－0.5
0.5
－2
解析：由题意可得，x＝5，y＝(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，因为回归方程为＝x＋，若＝5.4，且回归直线过点(5，0.9)，所以0.9＝5＋5.4，解得＝－0.9，所以x每增加一个单位，估计y减少0.9个单位．
答案：减少0.9
8．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________．
解析：将x＝160代入＝0.85x－82.71，得＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.
答案：－0.29
三、解答题
9．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年到2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
方法一 从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
方法二 从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
10．关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5.
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6.5x＋.
＝＝5，＝＝50，因为＝6.5x＋经过(，)，所以y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5 .所以50＝6.5×5＋.所以＝17.5.
(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－的关系如下表所示：
yi－yi
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
由于R＝0.845，R2＝0.82知R＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
B级 能力提升
1．根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
得到的回归方程为＝bx＋a，若a＝7.9，则x每增加 1个单位，y就( )
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位
C．增加1.2个单位 D．减少1.2个单位
解析：易知＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，
＝×(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，
所以样本点中心为(5，0.9)，
所以0.9＝5b＋7.9，所以b＝－1.4，
所以x每增加1个单位，y就减少1.4个单位．故选B.
答案：B
2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．
解析：因为R2＝1－，
0．95＝1－，所以总偏差平方和为1 780；回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.
答案：1 780 1 691
3．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)作出残差图；
(4)计算相关指数R2；
(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)＝39.25，＝40.875, ＝13 180，
＝－＝－0.003 88.
所以回归方程为＝1.0415x－0.003 88.
(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
(4)计算得相关指数R2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
(5)由上述分析可知，我们可用回归方程＝1.041 5x－0.003 88作为该运动员成绩的预报值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.
故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.
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