第三章 统计案例
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．下面是2×2列联表：
变量
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则表中a，b的值分别为( )
A．94，96 B．52，50 C．52，54 D．54，52
解析：因为a＋21＝73，所以a＝52，又a＋2＝b，所以b＝54.
答案：C
2．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
解析：这是独立性检验，犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.
答案：D
3．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取2 019人，计算发现K2的观测值k≈6.723，则根据这一数据，市政府断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过( )
A．0.005 B．0.05 C．0.025 D．0.01
解析：因为K2的观测值k≈6.723>6.635，所以断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过0.01.
答案：D
4．在一次独立性检验中，得出列联表如下：
分类
A
A
总计
B
100
400
500
B
90
a
90＋a
总计
190
400＋a
590＋a
且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是( )
A．720 B．360 C．180 D．90
参考公式：K2＝
解析：因为两个分类变量A和B没有任何关系，
所以k＝<2.702，代入验证可知a＝360满足．
答案：B
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：
喜好程度
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案：C
二、填空题
6．下列关于K2的说法中，正确的有________．
①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则做出拒绝H0的推断．
解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错误；根据独立性检验的概念和临界值表知②③正确．
答案： ②③
7．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：
分类
读书
健身
总计
女
24
31
55
男
8
26
34
总计
32
57
89
在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系．
参考公式：K2＝
解析：由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈3.689>2.706，
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．
答案：0.10
8. 某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
解析：先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位：人)：
家族
糖尿病发病
糖尿病不发病
总计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
总计
33
333
366
根据列联表中的数据，得到K2的观测值为k＝≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
答案：97.5%
三、解答题
9．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)由表中数据，得K2的观测值为
k＝≈9.967.
因为9.967＞6.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
10．某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：
分类
优秀
非优秀
总计
一班
35
13
二班
17
25
总计
(1)请完成列联表；
(2)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？
参考数据：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
K2＝
解：(1)2×2的列联表如下：
分类
优秀
非优秀
总计
一班
35
13
48
二班
17
25
42
总计
52
38
90
(2)根据列联表中的数据，得到K2的观测值k＝≈9.66>7.879，
则说明能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系．
B级 能力提升
1．有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下表．其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x与y之间有关系”，则a的取值应为( )
变量
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
A.5或6 B. 6或7
C．7 或8 D．8或9
解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为K2之间有关系，则K2＞2.706，而K2＝＝＝，要使K2＞2.706得a＞7.19或a＜2.04.又因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝8或9，故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“x与y之间有关系”．
答案：D
2．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
分类
又发作过心脏病
未发作过心脏病
总计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
总计
68
324
392
试根据上述数据计算K2＝________，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别_________．
解析：提出假设H0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值．k＝≈1.78.
当H0成立时，K2＝1.78，又K2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H0.也就是不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
答案：1.78 不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论
3．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．
分数段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
男生人数
3
9
18
15
6
9
女生人数
6
4
5
10
13
2
(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；
(2)规定80分以上为优秀(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为数学成绩与性别有关．
性别
优秀
非优秀
总计
男生
女生
总计
100
解：男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，
女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，
因为男＝女，所以从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别是否有关．
(2)由频数分布表可知，在抽取的100名学生中，“男生组”中数学成绩优秀的有15人，“女生组”中数学成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：
性别
优秀
非优秀
总计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
总计
30
70
100
可得K2的观测值为
k＝＝≈1.79，
因为1.79＜2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为数学成绩与性别有关．
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