第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列与排列数公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆＋＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线－＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是( )
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如≠，所以②是排列问题．
若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定；在双曲线－＝1中不管a>b还是a答案：B
2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6 B．4 C．8 D．10
解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有A种方法，
所以由分步乘法原理，不同的排列为2A＝4(种)．
答案：B
3．已知A－A＝10，则n的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：因为A－A＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，
整理得2n＝10，所以n＝5.
答案：B
4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种 B．360种
C．15种 D．30种
解析：由排列定义知选派方案有A＝6×5×4×3＝360(种)．
答案：B
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A个，另一类是4作个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．
答案：A
二、填空题
6．计算＝________．
解析：A＝7×6A，A＝6A，
所以＝＝36.
答案：36
7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A＝8×7×6×5＝1 680(种)．
答案：1 680
8．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有________种．
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树形图表示为：
由此可知共有9种送法．
答案：9
三、解答题
9．解关于x的方程：＝89.
解：法一 因为A＝(x－5)(x－6)A，
所以＝89.
因为A>0，所以(x－5)(x－6)＝90.
故x＝－4(舍去)，或x＝15.
法二 由＝89，得A＝90·A，
即＝90·.
因为x！≠0，所以＝，
所以(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，或x＝15.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A种排法，其他位上有A种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A·A＝360(个)．
B级 能力提升
1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________．
解析：lg a－lg b＝lg，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有A＝20种，其中lg＝lg，lg＝lg，故其可得到18种结果．
答案：18
2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种．
所以符合条件的直线有A＝30(条)．
答案：30
3．编号为1，2，3，4的四位同学，参加4×100米的接力赛，有多少种不同的安排方法？列出所有排列．
解：安排4×100米的接力赛，可以分四步来完成；第一步安排跑第一棒的运动员，有4种方法；第二步安排跑第二棒的运动员，有3种方法；第三步安排跑第三棒的运动员，有2种方法；第四步安排跑第四棒的运动员，有1种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×1＝24种不同的安排方法．如图所示，我们可以用树形图写出所有的安排方法．
上述每一个安排可以看作是从4个不同的元素中取出4个元素排成一列，其排法共有24个，它们是
1234，1243，1324，1342，1423，1432
2134，2143，2314，2341，2413，2431
3124，3142，3214，3241，3412，3421
4123，4132，4213，4231，4312，4321.
课件31张PPT。第一章 计数原理
