第一章 计数原理
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
答案：D
2．(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为( )
A．10 B．20 C．40 D．80
解析：通项公式Tr＋1＝C(x2)5－r＝2rCx10－3r，
令10－3r＝4可得r＝2，则x4的系数为22C＝40.
答案：C
3．若的展开式中第四项为常数项，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：由二项展开式可得Tr＋1＝C()n－r＝(－1)r2－rCx·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3Cx，由题意可知＝0，n＝5.
答案：B
4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207.
答案：D
5．在(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有( )
A．4项 B．3项 C．2项 D．1项
解析：(＋)12的展开式的通项为Tr＋1＝C()12－r()r＝Cx6－(0≤r≤12)，6－(0≤r≤12)为正整数，有3项，即r＝0，r＝6，r＝12时．
答案：B
二、填空题
6．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)．
解析：Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝(－2)rC·xr，令r＝2，
得T3＝(－2)2Cx2＝60x2.故x2的系数为60.
答案：60
7．若在(1＋ax)5的展开式中，x3的系数为－80，则a＝________．
解析：Tr＋1＝C(ax)r＝Carxr，
x3的系数为Ca3＝－80，解得a＝－2.
答案：－2
8．如果的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．
解析：Tr＋1＝C()n－r＝Cx，由题意知r＝2时，＝2，所以n＝8.
答案：8
三、解答题
9．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
则a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，
故a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.
10．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式的常数项．
解：Tr＋1＝C()n－r＝Cxn－r.
由前三项系数的绝对值成等差数列，
得C＋C＝2×C，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)展开式的第四项为：
T4＝Cx＝－7.
(2)当－r＝0，即r＝4时，
常数项为C＝.
B级 能力提升
1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( )
A．3 B．5
C．6 D．10
解析：展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.
答案：B
2．设二项式(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，
解得a＝2(舍去a＝－2)．
答案：2
3．如果f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)中，x项的系数为19，求f(x)中x2项系数的最小值．
解：x项的系数为C＋C＝19，即m＋n＝19，
当m，n都不为1时，x2项的系数为
C＋C＝＋
＝m2－19m＋171
＝＋171－，
因为m∈N*，所以当m＝9或10时，x2项的系数最小，为81.
当m为1或n为1时，x2项的系数为C＝153>81，
所以f(x)中x2项系数的最小值为81.
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