第一章 计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( )
A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项
解析：展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．由于该二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．
答案：C
2．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是( )
A．2n＋1 B．2n＋1＋1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析：令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
答案：D
3．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为( )
A．71 B．70 C．21 D．49
解析：因为奇数项的二项式系数和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为C27(－2)2＋C17(－2)＝70.
答案：B
4．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于( )
A．64 B．32 C．63 D．31
解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝12×26＝32.
答案：B
5．已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．1 B．－1 C．36 D．26
解析：由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零．
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6.
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36.
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36.
答案：C
二、填空题
6．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．
解析：C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝C710a3(a)7＝120a132.
答案：120a132
7．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
解析：令x＝1，得a0＝－2.
令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.
答案：2
8．如图所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
…
解析：由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n（n－1）2＋1＝n2－n＋22.
答案：46 n2－n＋22
三、解答题
9．已知2x－13xn展开式的二项式系数之和为128，求其展开式中含x3项的系数．
解：2x－13xn展开式的二项式系数之和为128，
所以2n＝128，解得n＝7.
所以2x－13x7展开式的通项公式为
Tr＋1＝Cr7?(2x)7－r?－13xr＝(－1)r?27－r?Cr7?x7－4r3，
令7－43r＝3，解得r＝3.
所以展开式中含x3项的系数是(－1)3?24?C37＝－560.
10．求(x－1)6＋(x－2)7的展开式中x4的系数．
解：先求(x－1)6中x4的系数，它的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)r，
令6－r＝4，所以r＝2，
所以此时它的展开式中x4的系数是C26(－1)2＝15.
同理得(x－2)7的展开式中x4的系数是C37(－2)3＝－280.
所以(x－1)6＋(x－2)7的展开式中x4的系数是－280＋15＝－265.
B级 能力提升
1．已知3x＋1xn展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )
A．第19项 B．第17项
C．第17项或第19项 D．第18项或第19项
解析：T10＝C9n(3x)n－9?1x9＝C9nxn－93－9，
由T10为常数，得n－93－9＝0，所以n＝36，故第19项系数最大．
答案：A
2．记f(m，n)为(1＋x)6(1＋y)4展开式中xm?yn项的系数，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________．
解析：f(3，0)＝C36＝20，f(2，1)＝C26C14＝60，f(1，2)＝C16C24＝36，f(0，3)＝C34＝4，
所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝20＋60＋36＋4＝120.
答案：120
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于165x2＋1x5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解：由165x2＋1x5得Tr＋1＝Cr516x255－r1xr＝1655－rCr5x20－5r2，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C45?165＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝C24a4＝54.
解得a＝±3.
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