第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程
第2课时 圆的参数方程
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．曲线(θ为参数)围成图形的面积等于( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案：D
2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
解析：由x＝cos θ，y＋1＝sin θ知参数方程为(θ为参数)．
答案：D
3．已知圆O的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝( )
A. B. C. D.
解析：由题意(0≤θ<2π)，
所以(0≤θ<2π)，解得θ＝.
答案：D
4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6 C．26 D．25
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin2 α＋cos2 α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ).所以最大值为36.
答案：A
5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2.
所以直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
二、填空题
6．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________________．
解析：设P(x，y)为动圆的圆心，由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0得：(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2 θ＋b2sin2 θ.
所以
答案：
7．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l和圆C的交点的直角坐标为________．
解析：由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r＝1，由直线l的极坐标方程可知直线l的方程为y＝1，则根据图象可知直线l和圆C的交点为(－1，1)，(1，1)．
答案：(－1，1)，(1，1)
8．曲线C：(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．
解析：(θ为参数)消参可得
x2＋(y＋1)2＝1，
利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，
解得1－≤a≤1＋.
答案：x2＋(y＋1)2＝1 [1－，1＋]
三、解答题
9．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
解：方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，
其参数方程为(θ为参数)．
(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan φ＝2确定)，
所以1－≤2x＋y≤1＋.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立．
因为－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1，
所以当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
B级 能力提升
1．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________ .
解析：由P在曲线上可得P的坐标为(2＋cos α，sin α)．
由点到直线的距离公式得d＝＝，当cos＝－1时，d最小，dmin＝＝－1＋3.
答案：－1＋3
2．已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.
解：由得
所以(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2，
则圆心(1，2)到直线y＝x的距离d＝＝.
所以|AB|＝2＝2＝.
3．已知圆C：(θ为参数)和直线l(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)，
(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．
解：(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.
(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋sin α)2－12≥0，则sin2≥，即sin≥或sin≤－.又0≤α≤π，故只能sin≥，即≤ α＋≤，即≤ α≤.
故α的取值范围是.
课件35张PPT。第二讲 参数方程
