第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
A级 基础巩固
一、选择题
1．方程x＝1＋sin θ，y＝sin 2θ(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )
A．(1，1) B.32，12
C.32，32 D.2＋32，－12
解析：当θ＝π6时，x＝32，y＝32，所以点32，32在方程x＝1＋sin θ，y＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线上．
答案：C
2．下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A.x＝t2＋1，y＝0 B.x＝0，y＝3t＋1
C.x＝1＋sin θ，y＝0 D.x＝4t＋1，y＝0
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.x＝2t，y＝t(t为参数) B.x＝－2t，y＝t(t为参数)
C.x＝2t，y＝－t(t为参数) D.x＝－2t，y＝－t(t为参数)
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以x＝2t，y＝t(t为参数)
答案：A
4．参数方程x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]
解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.
故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．
答案：D
5．设曲线C的参数方程为x＝2＋3cos θ，y＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由x＝2＋3cos θ，y＝－1＋3sin θ得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
曲线C表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，
则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝710＝71010＜3，
所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d＜71010，故满足题意的点有2个．
答案：B
二、填空题
6．若x＝cos θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．
解析：把x＝cos θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，
得cos2θ＋(y＋1)2＝1，
于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sin θ.
由于参数θ的任意性，
可取y＝－1＋sin θ，
因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为
x＝cos θ，y＝－1＋sin θ(θ为参数)．
答案：x＝cos θy＝－1＋sin θ(θ为参数)
7．已知某条曲线C的参数方程为x＝1＋2t，y＝at2(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．
解析：因为点M(5，4)在曲线C上，
所以5＝1＋2t，4＝at2，
解得t＝2，a＝1.所以a的值为1.
答案：1
8．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为x＝3＋3cos θ，y＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcosθ＋π6＝0，则圆C截直线所得弦长为________．
解析：圆C的参数方程为x＝3＋3cos θ，y＝1＋3sin θ圆心为(3，1)，半径为3，直线的普通方程为ρcos θcos π6－sin θsin π6＝32x－12y＝0，即3x－y＝0，圆心C(3，1)到直线3x－y＝0的距离为d＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2r2－d2＝232－12＝42.
答案：42
三、解答题
9．已知弹道曲线的参数方程为x＝2tcos π6，y＝2tsin π6－12gt2(t为参数)．
(1)求炮弹从发射到落地所需时间；
(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．
解：(1)令y＝0，则2tsin π6－12gt2＝0，解之得t＝2g.
所以炮弹从发射到落地所需要的时间为2g.
(2)y＝2tsin π6－12gt2＝－12gt2＋t
＝－12gt2－2gt
＝－12gt－1g2－1g2
＝－12gt－1g2＋12g，
所以当t＝1g时，y取最大值12g.
即炮弹在运动中达到的最大高度为12g.
10．过M(0，1)作椭圆x2＋y24＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程．
解：设过M(0，1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)，设中点P(x，y)则有：
x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.
由y＝kx＋1，x2＋y24＝1得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0，
所以y1＋y2＝8k2＋4，x1＋x2＝－2kk2＋4.
所以x＝－kk2＋4，y＝4k2＋4(k为参数)，
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．
B级 能力提升
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )
A．(2，3) B．(1，5)
C.0，π2 D．(2，0)
解析：先将P(2cos θ，3sin θ)化为方程为x24＋y29＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．
答案：D
2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1，1)，则点M的参数方程为________．
解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为x＝1＋9t，在y轴上的位移为y＝1＋12t.
所以参数方程为：x＝1＋9t，y＝1＋12t.
答案：x＝1＋9t，y＝1＋12t(t为参数)
3．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝35t，y＝1＋45t(t为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求x－y的取值范围；
(3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax.
解：(1)因为ρ＝2sin θ，
所以ρ2＝2ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y，
即x2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)因为x－y＝35t－1＋45t＝－15t－1，
又－1＜t＜1.
所以－15＜－15t＜15，
所以－65＜－15t－1＜－45，
即x－y的取值范围是－65，－45.
(3)曲线C的参数方程为x＝cos θ，y＝1＋sin θ(θ为参数)，
直线l的普通方程为4x－3y＋3＝0，
d＝|4cos θ－3sin θ|5＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝43，
所以dmax＝1.
课件42张PPT。第二讲 参数方程
