第二讲 参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第1课时 椭圆
A级 基础巩固
一、选择题
1．参数方程x＝cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋y24＝1 B．x2＋y22＝1
C．y2＋x24＝1 D．y2＋x24＝1
解析：易知cos θ＝x，sin θ＝y2，
所以x2＋y24＝1.
答案：A
2．两条曲线的参数方程分别是x＝cos2θ－1，y＝2＋sin2θ(θ为参数)和x＝3cos t，y＝2sin t(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
解析：由x＝cos2θ－1，y＝2＋sin2θ，得x＋y－2＝0(－1≤x≤0，1≤y≤2)，
由x＝3cos t，y＝2sin t得x29＋y24＝1.可知两曲线交点有1个．
答案：B
3．已知曲线x＝3cos θ，y＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为π4，则点P的坐标是( )
A．(3，4) B.322，22
C．(－3，－4) D.125，125
解析：因为y－0x－0＝43tan θ＝tanπ4＝1，
所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，
代入得点P的坐标为125，125.
答案：D
4．参数方程x＝2cos θ，y＝sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是 ( )
A．圆和直线 B．直线和直线
C．椭圆和直线 D．椭圆和圆
解析：对于参数方程x＝2cos θ，y＝sin θ(θ为参数)，
利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为x24＋y2＝1，表示椭圆．
ρ＝－6cos θ两边同乘ρ，
得ρ2＝－6ρcos θ，
化为普通方程为x2＋y2＝－6x，
即(x＋3)2＋y2＝9.
表示以(－3，0)为圆心，3为半径的圆．
答案：D
5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x－y－a＝0过椭圆C：x＝3cos φ，y＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，
若直线l过椭圆的右顶点(3，0)．
则3－0－a＝0，所以a＝3.
答案：A
二、填空题
6．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝asin θ，y＝3cos θ(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________．
解析：因为x＝t＋1，y＝1－2t，消去参数t得2x＋y－3＝0.
又x＝asin θ，y＝3cos θ，消去参数θ得x2a2＋y29＝1.
方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝32，
将32，0代入x2a2＋y29＝1，得94a2＝1.
又a>0，所以a＝32.
答案：32
7．已知P是椭圆x216＋y28＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．
解析：设P(4cos θ，22sin θ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得x＝0＋4cos θ2，y＝0＋22sin θ2， 即x＝2cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)，
消去θ得动点M的轨迹方程是x24＋y22＝1.
答案：x24＋y22＝1
8．直线x＋y＝23被椭圆x＝23cos φ，y＝2sin φ(φ为参数)截得的弦长为________．
解析：把x＝23cos φ，y＝2sin φ代入x＋y＝23得
3cos φ＋sin φ＝3.
即sinφ＋π3＝32，于是φ＝0或φ＝π3，得两交点M(23，0)，N(3，3)，|MN|＝3＋3＝6.
答案：6
三、解答题
9．已知两曲线参数方程分别为x＝5cos θ，y＝sin θ(0≤θ<π)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将x＝5cos θ，y＝sin θ(0≤θ<π)化为普通方程得x25＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－5)，
将x＝54t2，y＝t代入得516t4＋t2－1＝0，
解得t2＝45，
所以t＝255(y＝t≥0)，x＝54t2＝54×45＝1，
所以交点坐标为1，255.
9．已知两曲线参数方程分别为x＝5cos θ，y＝sin θ(0≤θ<π)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将x＝5cos θ，y＝sin θ(0≤θ<π)化为普通方程得x25＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－5)，
将x＝54t2，y＝t代入得516t4＋t2－1＝0，
解得t2＝45，
所以t＝255(y＝t≥0)，x＝54t2＝54×45＝1，
所以交点坐标为1，255.
10．已知椭圆的参数方程为x＝3cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线x＝2－3t，y＝2＋2t(t为参数)的最短距离．
解：设点P(3cos θ，2sin θ)，直线x＝2－3t，y＝2＋2t可化为2x＋3y－10＝0，点P到直线的距离d＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝|62sinθ＋π4－10|13.因为sinθ＋π4∈[－1，1]，所以d∈10－6213，10＋6213，所以点P到直线的最短距离dmin＝10－6213.
B级 能力提升
1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋22y的最大值为( )
A．26 B．4
C.2＋6 D．22
解析：椭圆为x26＋y24＝1，设P(6cos θ，2sin θ)，
x＋22y＝6cos θ＋2sin θ＝22sinθ＋π3≤22.
答案：D
2．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆x＝2cos θy＝4sin θ，(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：
4sin θ＝2cos θ＋b.
因为恒有公共点，所以方程有解．
令f(θ)＝b＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ－φ)tan φ＝12.
所以－25≤f(θ)≤25.
所以－25≤b≤25.
答案：[－25，25]
3．已知曲线C1的参数方程是x＝2cos φ，y＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解：(1)由已知可得
A2cos π3，2sin π3，
B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，
C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，
D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，
即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2 φ＋36sin2 φ＋16＝32＋20sin2 φ.
因为0≤sin2 φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．
课件31张PPT。第二讲 参数方程
