第二讲 参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第2课时 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.
答案：D
2．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，
且x＝et＋e－t≥2＝2，
所以表示双曲线的右支．
答案：B
3．已知抛物线的参数方程为(t为参数，p>0)，点A，B在曲线上对应的参数分别为t1和t2，若t1＋t2＝0，则|AB|等于( )
A．2p(t1－t2) B．2p(t＋t)
C．2p|t1－t2| D．2p(t1－t2)2
解析：因为x1＝2pt，x2＝2pt，所以x1－x2＝2p(t－t)＝2p(t1＋t2)·(t1－t2)＝0，所以|AB|＝|y2－y1|，又因为y1＝2pt1，y2＝2pt2，所以|y2－y1|＝2p|t1－t2|.
答案：C
4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．1 C. D．2
解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.
由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.
答案：B
5．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0，1) D．[0，1)
解析：将曲线化为普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
答案：D
二、填空题
6．双曲线的顶点坐标为________．
解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
7．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±＝±.
所以α＝30°或150°.
答案：30°或150°
8．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：化为普通方程为y＝x2，
由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
答案：ρcos2θ－sin θ＝0
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为
所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①
同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.
10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则
所以kAP＝.
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
B级 能力提升
1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5，0)，F2(5，0)，
设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec θ，
y＝＝tan θ.
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
答案：A
2．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)
3．求点P(0，1)到双曲线x2－y2＝4的最小距离．
解：设双曲线x2－y2＝4上任一点坐标为M，
则|PM|2＝＋(2tan φ－1)2
＝4(1＋tan2 φ)＋4tan2 φ－4tan φ＋1
＝8tan2 φ－4tan φ＋5
＝8＋.
则当tan φ＝时，|PM|＝.
所以|PM|min＝，
即点P到双曲线的最小距离为.
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