第二讲 参数方程
三、直线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线x＝1＋tcos α，y＝－2＋tsin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A．(1，－2) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．
答案：A
2．对于参数方程x＝1－tcos 30°，y＝2＋tsin 30°和x＝1＋tcos 30°，y＝2－tsin 30°，下列结论正确的是( )
A．是倾斜角为30°的两平行直线
B．是倾斜角为150°的两重合直线
C．是两条垂直相交于点(1，2)的直线
D．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
解析：因为参数方程x＝1－tcos 30°，y＝2＋tsin 30°，可化为标准形式x＝1＋tcos 150°，y＝2＋tsin 150°，所以其倾斜角为150°.
同理，参数方程x＝1＋tcos 30°，y＝2－tsin 30°，
可化为标准形式x＝1＋（－t）cos 150°，y＝2＋（－t）sin 150°，
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．
答案：B
3．直线x＝3－32t，y＝1＋12t(t为参数)的斜率为( )
A．－33 B．－32 C.33 D.12
解析：直线的参数方程x＝3－32t，y＝1＋12t(t为参数)化为普通方程为y－1＝－33(x－3)，则直线的斜率k＝－33.
答案：A
4．直线x＝tcos θ，y＝tsin θ(t是参数，0≤θ<π)与圆x＝4＋2cos α，y＝2sin α(α是参数)相切，则θ＝( )
A.π3 B.2π3
C.π6或5π6 D.π3或2π3
解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线xtan θ－y＝0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan2θ＋1＝2，解得tan θ＝±32，易知θ＝π6或5π6.
答案：C
5．若圆的方程为x＝－1＋2cos θ，y＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为x＝2t－1，y＝6t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．相交过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10＝2105＝ 85<2，故直线与圆相交而不过圆心．
答案：B
二、填空题
6．直线x＝－2－2t，y＝3＋2t上与点A(－2，3)的距离等于2的点的坐标是________．
解析：设P(－2－2t，3＋2t)是直线上满足条件的点，则(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，t2＝12，t＝±22，则P的坐标为(－3，4)或(－1，2)．
答案：(－3，4)或(－1，2)
7．直线x＝2－12t，y＝－1＋12t(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．
解析：直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝12＝22，弦长的一半为 22－222＝142，得弦长为14.
答案：14
8．已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4.则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．
解析：因为直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t，
所以直线l的普通方程为y＝x＋2.
因为曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，
可得曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x＜0)，
联立x2－y2＝4（x＜0），y＝x＋2，解得交点坐标为(－2，0)，
所以交点的极坐标为(2，π)．
答案：(2，π)
三、解答题
9．在直线坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝22t，y＝3＋22t(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，
因为ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
(2)将直线l的参数方程x＝22t，y＝3＋22t(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋22t－3＝0，
所以t1t3＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆x＝2cos θ，y＝sin θ(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|?|PB|.
解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为x＝1－22t，y＝22t(t为参数)．①
椭圆的普通方程为x2＋4y2＝4，②
将①代入②中，得5t2－22t－6＝0，③
因为Δ＝128>0，根据参数t的几何意义知
|PA|?|PB|＝|t1?t2|＝65.
B级 能力提升
1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x＝5cos θ，y＝5sin θθ为参数，0≤θ≤π2和x＝1－22t，y＝－22t(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：曲线C1和C2的普通方程分别为
x2＋y2＝5，①
x－y＝1，②
其中0≤x≤5，0≤y≤5，
联立①②解得x＝2，y＝1，
所以C1与C2的交点坐标为(2，1)．
答案：(2，1)
2．已知直线C1的参数方程x＝t－1，y＝2t＋1(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：曲线C2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
将C1：x＝t－1，y＝2t＋1，代入，得5t2－6t－2＝0，
则t1＋t2＝65，t1t2＝－25，则|AB|＝1＋22|t1－t2|＝5?（t1＋t2）2－4t1t2＝5× 652＋4×25＝2955.
答案：2955
3．(2017?全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cos θ，y＝sin θ，(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.
解：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.
从而C与l的交点坐标为(3，0)，－2125，2425.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|17.
当a≥－4时，d的最大值为a＋917.
由题设得a＋917＝17，所以a＝8;
当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.
由题设得－a＋117＝17，
所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
课件45张PPT。第二讲 参数方程
