第二讲 参数方程
四、渐开线与摆线
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2．直径为12的圆的摆线的参数方程是( )
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
解析：因为2r＝12.所以r＝6.所以该圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．故选A.
答案：A
3．已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析：圆的摆线的参数方程为
令r(1－cos φ)＝0，得φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)，
得x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又过(1，0)，
所以r(2kπ－sin 2kπ)＝1，所以r＝，
又r>0，所以k∈N*.
答案：A
4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π C．6π D．10π
解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B. C. D.
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，
所以|AB|＝ ＝.
答案：C
二、填空题
6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
7．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案：2
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．
答案：(π，2)
三、解答题
9．已知渐开线的参数方程是(θ为参数)，求当参数θ为和π时对应的渐开线上的两点A、B之间的距离．
解：当θ＝时，当θ＝π时，
所以A(π，2)，B(－2，2π)，
所以|AB|＝＝.
10．渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标．
解：由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.
把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，
对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
B级 能力提升
1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案：C
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．
解析：由题设得4＝4(1－cos t)得cos t＝0.
因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．
答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)
3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
(φ为参数)．
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