江苏省仪征市扬子中学九年级数学第2章《对称图形--圆》复习教案（含部分答案）

九年级数学第2章《对称图形--圆》复习教案
【知识梳理】
一、圆的定义及性质：
圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
例：下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
必会知识点：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合

二、垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。
必会知识点：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
必会知识点：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”
例：如图，点O是△ABC的内心，∠A=500，则∠BOC=_________

四、圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是
3、圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。
性质：圆内接四边形的对角 。
必会知识点： 1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角、有 个，是 类，它们的关系是
2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线圆内接平行四边形是 圆内接梯形是
例：如图⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥FE,垂足为D，求证∠CAD=∠BAC；


五、点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d
则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝>
点P在圆外 <＝>
过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，
外心的性质：到 相等
必会知识点：锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角形
例：已知⊙O的半径为4，A为线段PO的中点，当OP =10时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
六、直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r
直线l与⊙O相离<＝>d r
切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
必会知识点：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线
必会知识点：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切
切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点
内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分
必会知识点：三类三角形内心都在三角形 若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=
例：如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD=，则线段BC的长度等于__________.

七、圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有 种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>
必会知识点：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时d=

八、反证法：
假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法
必会知识点：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立

九、正多边形和圆：
1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 可用用α表示，α= ，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r表示
3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成 个全等的 三角形
必会知识点：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主
例：如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
十、弧长与扇形面积计算：
⊙O的半径为R，弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式：
L=
S扇= =
必会知识点：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴已知规则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等
例：如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB，已知半径OA=6cm，∠AOB=120°，则管道的长度（即弧AB的长）为 m.


十一、圆柱和圆锥：
1、如图：设圆柱的高为h,底面半径为R

则有：⑴S圆柱侧=
⑵S圆柱全=
⑶V圆柱=
2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：

⑴S圆锥侧= 、
⑵S圆锥全=
⑶V圆锥=
必会知识点：
1、圆柱的高有 条，圆锥的高有 条
2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系
3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的 ， 扇形的弧长是圆锥的
4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n，若l=2r，则n= l=3r,则n= l=4r则n=
【课堂巩固练习】
1、如图，在⊙O中，=2，则线段AB　 　2AC（填“＞”“＜”或“=”）．

2、若圆的一条弦把圆分成度数比例为2：7的两条弧，则弦所对的圆心角等于　 　．
3、如图，已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点，连接CP下，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG 顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O
(1)若AP=1，则AE=_______
〔2〕①求证：点O—定在AEP外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
(3)在点p从点A到点B的运动过程中，AEP的外接圆的圆心O也随之运动，求该圆心到
AB边的距离的最大值.




课堂巩固练习参考答案:
1.<
2. 40°
3.（1）3/4 （2） （3）1/2