第一讲 坐标系
一、平面直角坐标系
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是 ( )
A．椭圆 B．比原来大的圆
C．比原来小的圆 D．双曲线
解析：由伸缩变换的意义可知D项正确．
答案：D
2．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为( )
A. B.
C. D.
解析：设伸缩变换为
则解得所以
答案：C
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P点的坐标为(x，y)，
因为|PA|＝2|PB|，
所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.
答案：B
4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为( )
A．y′＝cos x′ B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′ D．y′＝cos 3x′
解析：由得
代入y＝cos 2x，得＝cos x′，
所以y′＝cos x′.
答案：A
5．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋＝1，则曲线C的方程为( )
A．2x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x＋y＝1 D．4x＋3y＝1
解析：将代入曲线＋＝1.
得x2＋y2＝1.
所以曲线C的方程为x2＋y2＝1.
答案：B
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程是________________．
解析：设P(x，y)，则＝，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x＋1＝0
7．函数y＝tan按φ：变换后得到的曲线在上的值域为________．
解析：由得代入y＝tan得y′＝tan，即y＝2tan，因为－＜x＜，所以－＜x＋＜，所以tan＞－，所以所求值域为.
答案：
8．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝cos ωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为________．
解析：函数f2(x)＝cos ωx，x∈R(ω>0，ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)而得到的，所以＝，即ω＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，|AM|＝ ＝，
故|AM|＝|BC|.
10．将椭圆＋＝1变换成圆x2＋y2＝1，写出变换过程．
解：令代入＋＝1得
＋＝1，
所以椭圆＋＝1经过平移变换后得到椭圆＋＝1，
再令即代入＋＝1得x′2＋y′2＝1.
所以椭圆＋＝1经过平移变换再经过伸缩变换后就得到圆x2＋y2＝1.
[B级 能力提升]
1．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________．
解析：设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．
依题意得其中λ＞0，μ＞0，λ≠1，μ≠1.
所以x＝y＝0，即P(0，0)为所求．
答案：(0，0)
2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．
解析：设P(x，y)，由题意可知＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
由||·||＋·＝0，
可知4＋4(x－2)＝0，
化简，得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
3．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．
解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P(x，y)，B(－a，0)，C(a，0)，A(0，a)，且y>0，a>0.用点的坐标表示等式
|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，
有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，
化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，
即点P的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y>0)．
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