第一讲 坐标系
二、极坐标
A级 基础巩固
一、选择题
1．在极坐标系中，点M的位置，可按如下规则确定( )
A．作射线OP，使∠xOP＝，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2
B．作射线OP，使∠xOP＝，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2
C．作射线OP，使∠xOP＝，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|＝2
D．作射线OP，使∠xOP＝－，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2
解析：当ρ<0时，点M(p，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取|OM|＝|ρ|，则点M就是坐标(ρ，θ)的点．
答案：B
2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0) B．(π，2π)
C．(－π，0) D．(－2π，0)
解析：x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，
所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．
答案：A
3．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.
答案：A
4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点与极轴垂直的直线对称
D．重合
解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．
答案：B
二、填空题
5．在极坐标系中，已知点A，B，则A、B两点间的距离为________．
解析：由公式|AB|＝，得|AB|＝ ＝＝.
答案：
6．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角的大小为________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
7．已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且|OA|＝|OB|，则点B的直角坐标为________．
解析：依题意，点B的极坐标为，
因为cos ＝cos＝cos cos －sin sin ＝·－·＝，
sin ＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝·＋·＝，
所以x＝ρcos ＝4×＝－，
y＝ρsin ＝＋.
所以点B的直角坐标为(－，＋)．
答案：(－，＋)
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案：3
三、解答题
9．在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．
解：对于点A有ρ＝2，θ＝，所以x＝2cos ＝，
y＝2sin ＝，则A(，)．
对于B有ρ＝2，θ＝，
所以x＝2cos ＝－，y＝2sin ＝－.
所以B(－，－)．
设点C的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，
故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.
所以
解得或
所以点C的坐标为(，－)或(－，)．
当x＝，y＝－，即点C在第四象限时，
有ρ＝2，tan θ＝－1，所以ρ＝2，θ＝π.
当x＝－，y＝，即点C在第二象限时，有ρ＝2，θ＝π.
故点C的极坐标为或.
10.如果对称点的极坐标定义如下：
当已知M(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈R)时，点M关于极点O的对称点M′(－ρ，θ)．
例如，M关于极点O的对称点M′，就是说与表示的就是同一点．已知A点的极坐标是，分别在下列给定条件下，写出A点的极坐标：
(1)ρ＞0，－π＜θ≤π.
(2)ρ＜0，0≤θ＜2π.
(3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.
解：如图所示，|OA|＝|OA′|＝6，∠xOA′＝，∠xOA＝，
即点A与A′关于极点O对称．
由极坐标的定义知
(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A.
(2)当ρ＜0，0≤θ＜2π时，A.
(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A.
[B级 能力提升]
1．已知点M的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为________．
解析：因为tan θ＝－，<θ<π，所以cos θ＝－，sin θ＝.
所以x＝5cos θ＝－3，y＝5sin θ＝4.
所以点M的直角坐标为(－3，4)．
答案：(－3，4)
2．限定ρ>0，0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为________．
解析：点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，依题意得ρ＝x，θ＝y，
即x2＋y2＝x2.
所以y＝θ＝0，ρ>0，
所以M(ρ，0)．
答案：(ρ，0)
3．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图所示，由A，B(2，π)，C.
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
所以△AOB≌△BOC≌△AOC，所以AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形．
(2)由(1)可知，
|AC|＝2|OA|sin＝2×2×＝2.
所以S△ABC＝×(2)2＝3.
课件36张PPT。第一讲 坐标系
