第一讲 坐标系
三、简单曲线的极坐标方程
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．4ρsin2＝5表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析：4ρsin2 ＝5?4ρ＝5?2ρ＝2ρcos θ＋5.因为ρ＝，ρcos θ＝x，代入上式得2＝2x＋5，两边平方整理得y2＝5x＋，所以它表示的曲线为抛物线．
答案：D
2．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.
答案：A
3．极坐标方程ρ＝asin θ(a＞0)所表示的曲线的图形是( )
解析：如图所示．
设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，
在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin ∠ONM，
即ρ＝2rsin θ＝asin θ.
答案：C
4．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )
A．2 B.
C. D.
解析：由可知，点的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cos θ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1，)的距离为.
答案：D
5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
解析：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
答案：B
二、填空题
6．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________________．
解析：因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，所以x2＋y2＝2y，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
答案：x2＋y2－2y＝0
7．在极坐标系中，定点A，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将极坐标化为直角坐标得为：A(0，1)，l：x＋y＝0，设点B的坐标为(x，－x)，则
|AB|＝＝.
当x＝－时，|AB|取最小值，所以此时点B的坐标为，化为极坐标为.
答案：
8．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________．
解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，圆心C(2，0)．点P的直角坐标为(2，2)，所以|CP|＝2.
答案：2
三、解答题
9．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A、B两点，且|AB|＝6.求直线AB的极坐标方程．
解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝，ρ2＝＝.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝＝，
所以＝±1，
所以cos θ1＝0或cos θ1＝±，
故直线AB的极坐标方程分别为θ＝，θ＝或θ＝.
10．在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P是OQ中点，求P的轨迹．
解：(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ，OQ，
则|OD|＝6，
∠DOQ＝－θ，
或∠DOQ＝θ－，
∠DQO＝.
在Rt△ODQ中，|OQ|＝|OD|cos，
即ρ＝6cos.
(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．
所以2ρ＝6cos，
所以ρ＝3cos.
所以P的轨迹是圆．
B级 能力提升
1．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1，0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝，设所求的弦长为l，则12＝＋，解得l＝.
答案：
2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为__________________．
解析：因为ρ2＝x2＋y2，所以ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ?x2＋y2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，圆C：＋＝r2.
(1)求圆心C的极坐标；
(2)当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3.
解：(1)圆C：＋＝r2的圆心C的直角坐标为.
因为ρ＝＝1，
又tan θ＝1且C在第三象限，所以θ＝.
所以圆心C的极坐标为.
(2)由ρsin＝，得ρcos θ＋ρsin θ＝1.
所以直线l：x＋y－1＝0.
圆C：＋＝r2的圆心
到直线l的距离为
d＝＝1＋，
因为圆C上的点到直线l的最大距离为3，
所以1＋＋r＝3，即r＝2－，
所以当r＝2－时，圆C上的点到直线l的最大距离为3.
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