第一讲 坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
A级 基础巩固
一、选择题
1．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的( )
A．以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
B．以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
C．以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
D．以原点为球心，半径为2的球面
解析：由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面．
答案：C
2．若点M的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(－6，2，4) B．(6，2，4)
C．(－6，－2，4) D．(－6，2，－4)
解析：由x＝8sin cos ＝－6，
y＝8sin sin ＝2，
z＝8cos ＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4)．
答案：A
3．设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为( )
A．(2，0，2) B．(2，π，2)
C．(，0，2) D．(，π，2)
解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
所以ρ＝＝2，tan θ＝＝0，
所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0，2)．
答案：A
4．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0，0，0)的对称的点P的坐标为(0<θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) B．(ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
解析：点P(ρ，θ，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．
答案：C
二、填空题
5．空间点P的柱坐标为，则点P关于z轴的对称点为________．
答案：
6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，2)
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3
8．在球坐标系中A和B的距离为________．
解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1，1，)，B(－1，1，－)．
所以|AB|＝＝2.
答案：2
三、解答题
9.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A、B，求出这两个截面间的距离．
解：在△OO1A中，由球坐标知∠AOO1＝，|OA|＝8，
所以|OO1|＝8cos ∠AOO1＝8×＝4，
同理在△OO2B中，|OB|＝8，∠O2OB＝，
所以|OO2|＝4，所以|O1O2|＝8，
所以两个截面间的距离为8.
10．在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A，B，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．
解：如图所示，因为A，B，
可知∠AOO1＝∠O1OB＝，
所以∠O1AO＝∠O1BO＝.
又∠EOC＝，∠EOD＝，
所以∠COD＝－＝.
所以∠AO1B＝∠COD＝.
在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，
所以O1B＝O1A＝R.
因为∠AO1B＝，所以AB＝R.
在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，所以∠AOB＝.
故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为R.
[B级 能力提升]
1．点M的球坐标为(r，φ，θ)，φ，θ∈(0，π)，则其关于点(0，0，0)的对称点的球坐标为________．
答案：(r，π－φ，π＋θ)
2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.
答案：
3．在柱坐标系中，求满足围成的几何体的体积．
解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
所以V＝Sh＝πr2h＝2π.
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